Radicación de Números Racionales

1. Idea central

• La radicación es la operación inversa de la potenciación.
• Si una fracción multiplicada por sí misma da un resultado, la raíz te dice cuál era esa fracción.
• Es como desarmar una potencia para recuperar el número original.

2. Elementos de la raíz

• Se escribe así: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• Radicando: lo que está dentro de la raíz, $\frac{a}{b}$. Es el resultado de la potencia.
• Índice: el numerito pequeño $n$. Indica cuántas veces se multiplicó el número. Si no se ve, es $2$ y se llama raíz cuadrada.
• Raíz: el resultado que buscas. Es el número que elevado a $n$ da el radicando.
• Número racional: todo número que puedes escribir como $\frac{a}{b}$, con $a$ y $b$ enteros y $b \neq 0$.

3. Regla de oro

• En fracciones, la raíz se reparte arriba y abajo por separado:

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$

• Con $a \geq 0$, $b > 0$ y $n \neq 0$.
• Funciona porque la potencia de una fracción también se reparte: $$.

4. Regla de los signos

• Índice par, como $2$, $4$:
  • El radicando debe ser positivo.
  • No existe raíz real de un número negativo.
  • Ejemplo válido: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

5. Ejemplo modelo

• Calculamos $\sqrt{\frac{25}{36}}$:
  • Paso 1 - Separa: $$

6. ¿Y si no es exacta?

• Solo hay resultado racional exacto si numerador y denominador son potencias perfectas del índice $n$.
• Potencia perfecta es un número que sale de elevar otro entero, como $25 = 5^2$ o $27 = 3^3$.

7. Claves para recordar

• La radicación deshace la potencia: busca la base que elevada a $n$ da el radicando.
• Aplica la raíz arriba y abajo.
• Índice par exige radicando positivo; índice impar admite negativos y conserva el signo.
• Comprueba siempre elevando tu respuesta a $n$.