Uso de ecuaciones y funciones en situaciones del mundo real

Idea central

• Modelar es traducir un problema de la vida real a matemáticas para resolverlo.
• Función: sirve para predecir qué pasa si un dato cambia.
• Ecuación: sirve para encontrar un dato que falta.

Piensa en la máquina de jugos: entra fruta y sale jugo con una regla fija. La función es la máquina. La ecuación es preguntar al revés: si quiero 20 vasos, ¿cuánta fruta debo meter?

Conceptos clave

• Variable: letra como x o C que representa una cantidad que puede cambiar.
• Modelo matemático: receta simplificada de la realidad, solo con lo importante para calcular.
• Costo fijo (a): precio que nunca cambia.
• Costo por unidad (b): precio por cada unidad de x.

La regla general

$$C(x) = a + bx$$

• a es lo fijo.
• b es el precio por cada unidad de x.
• x es lo que cambia, por ejemplo los kilómetros.
• C(x) es el total, por ejemplo el costo total en soles.
• Su gráfica es una recta que empieza en a y sube de b en b.

Método de 4 pasos para no perderte

1. Separa lo fijo de lo que cambia. Pregunta qué nunca cambia y qué depende de cuánto uses o avances.
2. Ponle letra a lo que cambia. Por ejemplo: sea x el número de kilómetros y sea C el costo total en soles.
3. Escribe la regla. Si hay fijo más costo por unidad, usa C(x) = a + bx.
4. Resuelve y vuelve a la realidad. Usa la función para predecir o plantea una ecuación para hallar un valor exacto. Interpreta si tiene sentido.

¿Qué uso según mi pregunta?

• ¿Cuánto pagaré si viajo 5 km? Usa la función: calcula C(5). Conoces x y buscas C.
• ¿Hasta dónde llego con 20 soles? Usa la ecuación: resuelve 20 = 4 + 2x. Conoces C y buscas x.
• ¿Qué plan conviene más? Compara dos funciones: ves cuál da menor C para el mismo x.

Ejemplo resuelto: el taxi

Situación: Un taxi cobra 4 soles por subirte y 2 soles por cada kilómetro. Tienes 20 soles. ¿Cuántos kilómetros puedes recorrer?

• Paso 1 - Entiende: Lo fijo es 4. Lo que cambia es x, los kilómetros. El total C depende de x.
• Paso 2 - Nombra: Sea x el número de kilómetros. Sea C(x) el costo total en soles.
• Paso 3 - Modelo: C(x) = 4 + 2x. Con 0 km pagas 4, y por cada 1 km extra pagas 2 más.
• Paso 4 - Ecuación: Queremos gastar 20, entonces igualamos: 20 = 4 + 2x. Resta 4 a ambos lados: 16 = 2x. Divide entre 2: x = 8.
• Paso 5 - Comprueba e interpreta: C(8) = 4 + 2(8) = 20. Coincide. Respuesta: con 20 soles puedes viajar 8 km. Además, x no puede ser negativo, el modelo solo vale para x mayor o igual que 0.

Checklist final

• Identifiqué bien a y b.
• Escribí C(x) con sus unidades.
• Si me dan x, evalúo la función.
• Si me dan C, planteo y resuelvo la ecuación.
• Compruebo en la función y reviso unidades y sentido.