Operaciones con números racionales e irracionales mediante aproximaciones

1. Idea central

• Los irracionales como π o √2 tienen infinitos decimales que no se repiten.
• Para operar con ellos, los recortamos a 1, 2 o 3 decimales y después sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos como siempre.

2. Conceptos clave

• Número racional: se puede escribir como fracción. Su decimal termina o se repite. Ejemplos: 3, 0.5, -1.25, 1/3.
• Número irracional: decimal infinito y no periódico. No se puede escribir como fracción exacta. Ejemplos: √2, √3, π, e.
• Aproximación: reemplazar un decimal infinito por uno corto y cercano. Ejemplo: usar 3.14 en lugar de π.
• Orden de aproximación: cuántos decimales guardas. A décimas es 1 decimal, a centésimas son 2 decimales, a milésimas son 3 decimales.
• Truncamiento: cortar sin mirar. Solo borras los decimales que sobran.
• Redondeo: cortar mirando el siguiente decimal. Si es 5 o más, subes en 1 el último decimal que guardas.

3. Truncamiento vs redondeo

• En el colegio casi siempre usarás redondeo porque se equivoca menos.
• π = 3.14159... → truncamiento a 2 decimales: 3.14, redondeo: 3.14, porque el tercer decimal es 1, menor que 5.
• √2 = 1.41421... → truncamiento: 1.41, redondeo: 1.41, porque el tercer decimal es 4, menor que 5.
• e = 2.71828... → truncamiento: 2.71, redondeo: 2.72, porque el tercer decimal es 8, mayor que 5.

4. Cómo operar paso a paso

1. Elige el orden. Si te piden centésimas, guarda 2 decimales en cada irracional.
2. Aproxima cada irracional. Usa la calculadora y aplica redondeo.
3. Convierte todo en decimales finitos. Ahora solo tienes racionales fáciles.
4. Opera normal. Suma, resta, multiplica o divide respetando la jerarquía.
5. Escribe ≈ y no =. Tu resultado es cercano, no perfecto. Si guardas más decimales, el error es más pequeño.

5. Ejemplo resuelto

• Calcula A = 2 · √3 + π aproximando a centésimas por redondeo.
• Paso 1: decimales largos: √3 = 1.73205... y π = 3.14159...
• Paso 2: redondea a 2 decimales: √3 ≈ 1.73 y π ≈ 3.14.
• Paso 3: reemplaza y opera: A ≈ 2 · 1.73 + 3.14 = 3.46 + 3.14 = 6.60.
• Paso 4: resultado final: A ≈ 6.60. Se usa ≈ porque se cortaron decimales.

6. Para recordar

• Los irracionales no se operan con todos sus decimales, por eso se aproximan.
• Truncar es cortar, redondear es cortar mirando el siguiente decimal.
• Aproxima todos los irracionales al mismo orden antes de operar.
• Opera después como si fueran decimales normales y escribe el final con ≈.