Números Irracionales

1. Idea central

• Son números que no se pueden escribir como una fracción exacta.
• Su parte decimal es infinita y nunca repite un patrón.
• Existen de verdad, pero ningún quebrado puede atraparlos por completo.

2. Palabras clave para entenderlos

• Número real ($\mathbb{R}$): cualquier número que puedes ubicar en la recta numérica.
• Fracción ($\frac{p}{q}$): división entre dos enteros, con $q \neq 0$. Ej: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$.
• Decimal periódico: infinito que sí repite un bloque. Ej: $0.333...$, $0.454545...$.
• Decimal no periódico: infinito que nunca repite un bloque. Ej: $0.101001000100001...$.

3. Definición exacta

• Un número es irracional si es real pero imposible de escribir como fracción de enteros.
• $\mathbb{I} = \{ x \in \mathbb{R} \mid \text{no existen } p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \text{ tales que } x = \frac{p}{q} \}$

4. Analogía: la regla que nunca alcanza

• Un cuadrado de $1 \times 1$ tiene diagonal $\sqrt{2} \approx 1.41421...$.
• Con fracciones como $$ o te acercas mucho, pero .

5. Cómo reconocer un irracional

1. Mira su decimal: si es infinito y no se repite, es irracional.
2. Mira su forma: la mayoría de raíces no exactas son irracionales. Ej: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, .

6. Racional vs Irracional

• ¿Se escribe como $\frac{p}{q}$? Racional: Sí. Irracional: No.
• Su decimal: Racional termina o se repite. Ej: $0.5$, $0.333...$. Irracional es infinito sin repetirse. Ej: $1.41421...$.

7. Los irracionales más famosos

• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$: diagonal del cuadrado de lado $1$.
• $\pi \approx 3.14159...$: relación entre circunferencia y diámetro.

8. Dónde viven: la recta real

• Rellenan los huecos que dejan las fracciones en la recta numérica.
• Entre dos fracciones cualesquiera, siempre hay un irracional.
• $\pi$ está entre $3$ y $4$, $\sqrt{2}$ entre y , pero ningún cae justo sobre ellos.

9. Cuidado con las operaciones

• Racional + irracional = irracional. Ej: $2 + \sqrt{2}$ sigue siendo irracional.
• Racional no cero $\times$ irracional = irracional. Ej: $3 \times \pi = 3\pi$ es irracional.

10. Ejemplo modelo: por qué $\sqrt{2}$ es irracional

• Paso 1 - Suponer que sí es racional: suponemos $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ con y enteros, , sin factores comunes, fracción irreductible simplificada al máximo.

11. Resumen final para memorizar

• Irracional = real que no puede escribirse como $\frac{p}{q}$.
• Decimal infinito y sin periodo.
• Claves: $\sqrt{2}$, , , , .