Unión e Intersección de Intervalos

1. La idea central

• Un intervalo es un trozo continuo de la recta, sin saltos ni huecos, con dos extremos donde empieza y termina.
• Unión: junta todo lo que cubren los dos intervalos.
• Intersección: se queda solo con la parte que cubren los dos al mismo tiempo.
• Analogía de las lámparas: A ilumina de 1 a 4 y B de 3 a 6. La unión es la zona con luz de al menos una. La intersección es la zona con luz de las dos a la vez.

2. Lo que debes mirar en los extremos

• Cerrado con [ ]: incluye el punto. En $A = [1,4]$ el 1 y el 4 sí están incluidos.
• Abierto con ( ): no incluye el punto. En $B = (3,6]$ el 3 no está incluido, pero el 6 sí.
• Pertenencia $x \in A$: significa que x está en A.
• Regla de oro: el extremo del resultado es cerrado solo si el punto está incluido en todos los intervalos que lo aportan.

3. Definiciones exactas

• Unión $A \cup B$: $A \cup B = {x \in \mathbb{R} | x \in A o x \in B}$. Basta estar en uno para estar en el resultado.

4. Casos más comunes

• Separados: $A = [1,2]$ y $B = [4,5]$
  • Unión: $[1,2] \cup [4,5]$, quedan dos trozos, no se puede escribir como un solo intervalo.

5. Ejemplo modelo: $A = [1,4)$ y $B = (3,6]$

• Paso 1: Leer extremos. En A el 1 está incluido y el 4 no. En B el 3 no está incluido y el 6 sí.
• Paso 2: Dibujar en la misma recta. Marca 1, 3, 4 y 6. Pinta A de un color y B de otro. La zona entre 3 y 4 queda pintada dos veces.
• Paso 3: Unión $A \cup B$. Junta todo lo pintado. Empieza en 1 incluido y termina en 6 incluido, sin huecos. Resultado: $[1,6]$.
• Paso 4: Intersección $A \cap B$. Quédate solo con lo pintado dos veces, de 3 a 4. El 3 no vale porque no está en B y el 4 no vale porque no está en A. Resultado: .

6. Claves para el examen

• Unión = lo pintado al menos una vez. Intersección = lo pintado dos veces.
• Si no se tocan, la unión se deja indicada con $\cup$ y la intersección es $\emptyset$.
• Dibuja siempre en la recta y comprueba con puntos como 2, 3, 3.5, 4 y 5.