Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

1. Definición y forma general

• Es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas x, y, que se verifican simultáneamente.
• Forma general:
  • a1 x + b1 y = c1
  • a2 x + b2 y = c2
  • donde x, y son las incógnitas y a1, b1, c1, a2, b2, c2 son números reales.
  • Condición: (a1, b1) ≠ (0,0) y (a2, b2) ≠ (0,0) para que cada ecuación sea realmente lineal.
• Solución: par ordenado (x0, y0) que satisface ambas ecuaciones a la vez.
• Idea geométrica: cada ecuación representa una recta en el plano; resolver es hallar el punto o puntos de intersección.

2. Tipos de sistemas según su solución

• Compatible determinado:
  • Condición: a1/a2 ≠ b1/b2
  • Geometría: rectas secantes
  • Soluciones: una solución única
  • Ejemplo: x + y = 5 ; 2x - y = 1 → solución (2,3)
• Compatible indeterminado:
  • Condición: a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
  • Geometría: rectas coincidentes
  • Soluciones: infinitas soluciones
  • Ejemplo: 2x + 4y = 6 ; x + 2y = 3
• Incompatible:
  • Condición: a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
  • Geometría: rectas paralelas no coincidentes
  • Soluciones: ninguna solución
  • Ejemplo: x + y = 2 ; x + y = 5

3. Métodos de resolución

Método gráfico

• Despeja y en cada ecuación: y = m1 x + b1 ; y = m2 x + b2.
• Traza ambas rectas en el mismo plano cartesiano.
• Si se cortan en (x0, y0), esa es la solución; si coinciden, hay infinitas; si son paralelas, no hay solución.
• Útil para visualizar, pero poco preciso si la solución no es entera.

Método de sustitución

1. Despeja una variable en una ecuación, por ejemplo x = 7 - y de x + y = 7.
2. Sustituye en la otra y resuelve: 2(7 - y) - y = 2 → 14 - 3y = 2 → y = 4.
3. Reemplaza para hallar la otra: x = 3.

Método de igualación

1. Despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
2. Iguala las dos expresiones y resuelve la ecuación resultante.
3. Sustituye en un despeje. Ejemplo: 7 - y = (2 + y)/2.

Método de reducción o eliminación

1. Multiplica una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de una variable sean opuestos.
2. Suma las ecuaciones para eliminar esa variable y resuelve.
3. Sustituye para hallar la otra variable.

• Ejemplo: 3x + 2y = 12 ; 5x - 2y = 4 → sumando 8x = 16 → x = 2, y = 3.

Regla de Cramer o determinante

• Determinante principal: D = a1 b2 - a2 b1.
• Auxiliares: Dx = c1 b2 - c2 b1 ; Dy = a1 c2 - a2 c1.
• Si D ≠ 0: compatible determinado, solución única x = Dx/D , y = Dy/D.
• Si D = 0:
  • Si Dx = 0 y Dy = 0: compatible indeterminado o incompatible, verificar por proporcionalidad.
  • Si Dx ≠ 0 o Dy ≠ 0: incompatible.

4. Ideas clave para el examen

• No todo sistema tiene solución única: identifica primero si es determinado, indeterminado o incompatible.
• Calcula D = a1 b2 - a2 b1: si D ≠ 0, hay solución única.
• En sistemas con parámetros, impone D = 0 para hallar los casos de infinitas o ninguna solución.
• Verifica siempre tu par (x0, y0) sustituyéndolo en ambas ecuaciones originales.