Potenciación de números racionales

1. Idea central

• Potenciar un racional es multiplicarlo por sí mismo tantas veces como indique el exponente.
• Es un atajo para no escribir la misma multiplicación una y otra vez.
• Analogía: una copia reduce a 3/4; hacer copia de la copia 3 veces es (3/4)^3.

2. Vocabulario clave

• Número racional: todo número de la forma a/b, con a y b enteros y b distinto de 0. Ejemplos: 3/4, -2/5, 6 = 6/1.
• Base: el número grande que se multiplica. En (2/3)^3, la base es 2/3.
• Exponente: el número pequeño de arriba que dice cuántas veces se repite la base.
• Potencia: el resultado y también toda la expresión (a/b)^n.

3. Regla de oro

• Eleva arriba y abajo por separado:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$$

• Ejemplo: (2/5)^3 = 2^3 / 5^3 = 8/125.

4. Signo con base negativa

• Si n es par, el resultado es positivo.
• Si n es impar, el resultado es negativo.
• Ejemplos: (-2/3)^2 = 4/9, pero (-2/3)^3 = -8/27.

5. Exponentes 0, 1 y negativo

• Exponente 0: todo número distinto de cero elevado a 0 da 1: (a/b)^0 = 1.
• Exponente 1: todo número elevado a 1 queda igual: (a/b)^1 = a/b.
• Exponente negativo: no da negativo, se invierte la fracción y se hace positivo el exponente:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^{n}}{a^{n}}$$

• Ejemplo: (3/4)^-2 = (4/3)^2 = 16/9.

6. Propiedades que siempre se cumplen

• Multiplicación de misma base: (a/b)^m por (a/b)^n = (a/b)^(m+n). Ejemplo: (1/2)^2 por (1/2)^3 = (1/2)^5.
• División de misma base: (a/b)^m entre (a/b)^n = (a/b)^(m-n). Ejemplo: (5/4)^4 entre (5/4)^2 = (5/4)^2.
• Potencia de potencia: [(a/b)^m]^n = (a/b)^(m por n). Ejemplo: [(2/3)^2]^3 = (2/3)^6.

7. Ejemplo modelo: (-2/3)^-3 = -27/8

• Paso 1: invierte por exponente negativo: (-2/3)^-3 = (-3/2)^3.
• Paso 2: separa: = (-3)^3 / 2^3.
• Paso 3: calcula con signo: exponente 3 impar da negativo: -27/8.

8. Claves para recordar

• Siempre puedes separar: (a/b)^n = a^n / b^n.
• Mira primero el signo si la base es negativa.
• Si el exponente es negativo, invierte primero.
• No confundas exponente negativo con resultado negativo.