Progresiones Geométricas - Resumen de Estudio

1. Idea central

• Una progresión geométrica es una lista ordenada de números llamados términos, donde pasas de uno al siguiente multiplicando siempre por el mismo número.
• Ese número fijo se llama razón y se representa con r.
• No sumas, multiplicas. Por eso los valores crecen o disminuyen muy rápido.

2. Ejemplo para entenderlo

• Si el lunes lo ven 3 personas y cada día lo ven el triple: 3, 9, 27, 81...
• Cada término es el anterior por 3. Aquí a1 = 3 y r = 3.

3. Elementos clave

• Primer término a1: número con el que empieza la lista.
• Razón r: número fijo por el que multiplicas cada vez.
• Término a_n: número que está en la posición n.
• Ejemplo con a1 = 2 y r = 3: 2, 6, 18, 54, 162...

4. Cómo calcular la razón r

• Si conoces dos términos seguidos, divides el segundo entre el primero:
• $r = a_2 / a_1 = a_3 / a_2 = a_n / a_{n-1}$
• Casos típicos:
  • En 4, 12, 36, 108... r = 12 / 4 = 3, la lista crece.
  • En 100, 50, 25, 12.5... r = 50 / 100 = 0.5, como r es menor que 1, la lista disminuye.
  • En 5, -10, 20, -40... r = -10 / 5 = -2, el signo negativo alterna los signos.

5. Término general

• Para hallar cualquier lugar sin hacer toda la lista:
• $a_n = a_1 * r^{n-1}$

6. Suma de los primeros n términos

• Si r es distinto de 1:
• $S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)$

7. Ejemplo modelo

• Datos: a1 = 5, r = 2, n = 6. Buscas a6 y S6.
• Sexto término: $a_6 = 5 * 2^{5} = 5 * 32 = 160$

8. Claves para el examen

• Multiplicar siempre por la misma r para avanzar.
• Hallar r dividiendo un término entre el anterior.
• Usar $a_n = a_1 * r^{n-1}$ para ir directo a una posición.