Polígonos inscritos y circunscritos

1. Idea central

• Inscrito: el polígono está dentro del círculo y lo toca solo con sus vértices.
• Circunscrito: el círculo está dentro del polígono y lo toca solo con sus lados.

2. Palabras clave

• Polígono: figura plana cerrada de lados rectos.
• Vértice: punta o esquina del polígono.
• Circunferencia circunscrita: pasa por todos los vértices, es el anillo de afuera.
• Circunferencia inscrita: toca todos los lados por dentro, es la moneda de adentro.
• Tangente: toca en un solo punto sin cortar.
• Regla espejo: vértices en el círculo = inscrito / lados tangentes al círculo = circunscrito.

3. Centro y dos radios en polígonos regulares

• Solo el polígono regular tiene un centro único para todo.
• R - radio circunscrito: del centro al vértice.
• a - apotema o radio inscrito: del centro al punto medio del lado, perpendicular al lado.

4. Fórmulas clave para n lados

• Ángulo central: alfa = 360° / n
• Lado: L = 2 x R x sin(180° / n)
• Apotema: a = R x cos(180° / n)

Casos para memorizar

• Dato clave: en el hexágono regular el lado es igual al radio.

5. Si no es regular

• Triángulo cualquiera: siempre se puede inscribir y circunscribir.
• Cuadrilátero inscrito: solo si ángulos opuestos suman 180°: A + C = 180° y B + D = 180°.
• Cuadrilátero circunscrito: solo si lados opuestos suman igual: a + c = b + d.

6. Mini-ejemplo para fijar

• Cuadrado inscrito en círculo de R = 5 cm.
• Diagonal = diámetro = 10 cm.
• L = 10 / √2 = 5√2 cm ≈ 7,07 cm.
• Área = L² = 50 cm².

7. Checklist de examen

• ¿Toca con puntas o con lados?
• ¿Me piden R, a o L? Usa alfa = 360° / n.
• En cuadrado inscrito, diagonal = 2R.
• En cuadriláteros, verifica suma de opuestos.