Teorema de las Secantes

1. La idea en 2 líneas

• Estás en un punto P fuera del círculo y trazas dos líneas que lo atraviesan.
• Aunque una sea más inclinada que la otra, el producto de sus trozos siempre es el mismo.

2. Palabras que debes dominar

• Circunferencia: solo el borde redondo del círculo, como la orilla de una piscina circular.
• Secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos, entra y sale.
• Punto exterior P: punto fuera del círculo desde donde salen las dos secantes.
• Segmento externo: desde P hasta el primer corte. Son PA y PC.
• Segmento secante completo: desde P hasta el segundo corte, el más lejano. Son PB y PD.
• Analogía: dos senderos desde tu casa P que cruzan un parque circular.

3. El teorema

Configuración

1. Marca P fuera de la circunferencia.
2. Primera secante PAB: corta primero en A y después en B.
3. Segunda secante PCD: corta primero en C y después en D.

Fórmula principal

Siempre es externo por completo igual a externo por completo:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$

También como proporción:

$$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}$$

¿Por qué funciona? Porque los triángulos PAD y PCB son semejantes: comparten el ángulo en P y los ángulos que miran al mismo arco son iguales.

Tabla para no confundirte

• Primera secante PAB: externo = PA, completo = PB
• Segunda secante PCD: externo = PC, completo = PD

4. Cómo aplicarlo en 3 pasos

1. Completa: si te dan el trozo interior, suma para hallar el completo: PB = PA + AB y PD = PC + CD.
2. Iguala: plantea PA · PB = PC · PD.
3. Despeja: resuelve la ecuación. Si te piden el interior, resta al final: CD = PD - PC.

5. Ejemplo modelo

• Datos: PA = 4, AB = 5, PC = 3. Halla PD y CD.
• Paso 1: PB = PA + AB = 4 + 5 = 9
• Paso 2: 4 · 9 = 3 · PD, es decir 36 = 3 · PD
• Paso 3: PD = 36 / 3 = 12
• Paso 4: CD = PD - PC = 12 - 3 = 9
• Respuesta: PD = 12 y CD = 9.

6. Cuidado con esto

• No uses solo el segmento interior AB o CD en la fórmula.
• Verifica que ambas rectas salgan del mismo punto P y que P esté fuera del círculo.
• No mezcles: siempre externo por completo en cada lado.

7. En resumen

• Desde P exterior con secantes PAB y PCD: PA · PB = PC · PD.
• PA y PC son externos, PB y PD son completos.
• Si te dan el trozo interior, primero suma.
• Sirve para hallar longitudes desconocidas sin medir dentro del círculo.