Inecuaciones de primer grado: Resumen de estudio

1. Definición clave

• Inecuación: desigualdad con incógnita $x$. Pregunta: ¿para qué valores de $x$ se cumple la comparación?
• Desigualdad: comparación con $>$, $<$, $\ge$ o $\le$ en vez de $=$.
• Primer grado: $x$ está con exponente 1. No hay $x^2$ ni $x^3$.
• Forma general: $ax + b > 0$ con $a \neq 0$. El signo puede ser $>$, $$, o .
• Solución: conjunto infinito de valores de $x$ que hacen verdadera la desigualdad.
• Intervalo: forma corta de escribir la solución. Ejemplo: $x < 4$ es $(-\infty, 4)$.

Idea central: es como una balanza desequilibrada. No buscas un solo número, sino todos los que cumplen la condición.

2. Los cuatro signos

• $>$ mayor que: $x > 2$ son números más grandes que 2, sin incluir 2.
• $<$ menor que: $x < 2$ son números más pequeños que 2, sin incluir 2.
• $\ge$ mayor o igual que: son números desde 2 hacia arriba, incluyendo 2.

3. Cómo resolver: deja sola a la $x$

• Sumar o restar: puedes sumar o restar lo mismo a ambos lados y el signo se mantiene.
• Multiplicar o dividir entre positivo: puedes hacerlo y el signo se mantiene.
• Regla de oro - entre negativo se invierte: si multiplicas o divides entre un número negativo, invierte el signo.

¿Por qué se invierte? Porque $2 < 3$ es verdad, pero por $-1$ queda $-2 > -3$. El orden se da vuelta en la recta numérica.

4. Ejemplo modelo

Resolver $5 - 2x \ge 11$:

• Paso 1 - Aislar el término con $x$: resta 5 a ambos lados: $-2x \ge 6$.
• Paso 2 - Despejar $x$: divide entre $-2$ e invierte $\ge$ a : .

5. Cómo leer la solución

• Intervalo: $(-\infty, -3]$ significa todos los números desde $-3$ hacia abajo.
• Recta numérica: punto lleno en $-3$ y sombreado hacia la izquierda.
• Paréntesis ( ): extremo no incluido. Corchete [ ]: extremo sí incluido.

6. Para recordar en el examen

• Resuelve casi igual que una ecuación, dejando sola a la $x$.
• Lo único diferente: si multiplicas o divides entre negativo, invierte el signo.
• La respuesta es un conjunto infinito: escríbelo como desigualdad, intervalo y recta.
• Verifica con un valor de tu solución en la inecuación original.