Función Valor Absoluto: La Distancia que Nunca es Negativa

Idea Central

• La función valor absoluto mide qué tan lejos está un número del cero.
• Por eso su resultado siempre es positivo o cero, nunca negativo.

1. Definición Básica

• Valor absoluto: es la distancia al cero. Se escribe con dos barritas.
• Ejemplos: |-3| = 3 y |3| = 3.
• Función: máquina que a cada entrada x le asigna una sola salida |x|.
• Regla por partes:
  • |x| = x si x ≥ 0
  • |x| = -x si x < 0
• Si x = -4, entonces -x = -(-4) = 4, que es positivo. Así se quita el signo menos.
• Función más simple: f(x) = |x|
• Dominio: todos los valores de x que puedes meter en la función.
• Rango: todos los resultados y que pueden salir.

2. Gráfica en Forma de V

• Tabla de f(x) = |x|:
  • Puntos clave: (-3, 3), (-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3).
• Al unir esos puntos obtienes una V con el pico abajo en el origen.
• Vértice: punto donde la V cambia de dirección. En f(x) = |x| es (0, 0).

Propiedades clave de f(x) = |x|

• Dominio: todos los números reales, (-∞, +∞).
• Rango: solo números desde 0 hacia arriba, [0, +∞). Nunca sale negativo.
• Crecimiento: decreciente si x < 0 y creciente si x > 0. Baja hasta el vértice y luego sube.
• Simetría: simétrica respecto al eje y. La parte izquierda es el espejo de la derecha.

3. Forma General: Mover la V

• Fórmula: g(x) = |x - h| + k
• h mueve la V a la derecha si es positivo o a la izquierda si es negativo.
• k mueve la V hacia arriba si es positivo o hacia abajo si es negativo.
• Nuevo vértice: (h, k).
• Ejemplo: g(x) = |x - 2| + 1 tiene vértice en (2, 1).

4. Ejemplo Modelo: h(x) = |x + 2| - 3

• Paso 1 - Vértice: Reescribe como |x - (-2)| - 3. Entonces h = -2 y k = -3. Vértice en (-2, -3).
• Paso 2 - Tabla alrededor del vértice:
  • h(-4) = |-4 + 2| - 3 = |-2| - 3 = 2 - 3 = -1
  • h(-3) = |-3 + 2| - 3 = |-1| - 3 = 1 - 3 = -2
  • h(-2) = |-2 + 2| - 3 = |0| - 3 = -3
  • h(-1) = |-1 + 2| - 3 = |1| - 3 = 1 - 3 = -2
  • h(0) = |0 + 2| - 3 = |2| - 3 = 2 - 3 = -1
• Paso 3 - Gráfica: une los puntos en V con vértice en (-2, -3), abre hacia arriba.
• Paso 4 - Dominio y rango: Dominio (-∞, +∞). Rango [-3, +∞) porque el punto más bajo es y = -3.

Resumen Final

• f(x) = |x| mide la distancia de x al cero, por eso nunca da negativo.
• Su gráfica es una V con vértice en (0, 0).
• Dominio (-∞, +∞) y rango [0, +∞).
• Se define por partes como x si x ≥ 0 y -x si x < 0.
• La forma g(x) = |x - h| + k mueve la V al vértice (h, k) sin cambiar su forma.