Sistema masa-resorte

Idea central

Si estiras una masa unida a un resorte y la sueltas, va y viene sola con un ritmo fijo. Ese ritmo solo depende de la masa (m) y de la rigidez del resorte (k).

1. Partes y conceptos clave

• Masa (m): el objeto que se mueve. Se mide en kg.
• Resorte ideal: no pesa y vuelve a su forma. Su rigidez es k en N/m. A mayor k, resorte mas duro.
• Posicion de equilibrio: punto donde x = 0. Ahi la masa se quedaria quieta.
• Elongacion (x): cuanto te alejas del equilibrio. Si x > 0, estiraste. Si x < 0, comprimiste.
• Fuerza restauradora: siempre apunta hacia el equilibrio.
• Amplitud (A): el estiron maximo. Lo decides tu al soltar.
• Analogia: como el resorte de un lapicero retractil o un trampolin. Mas duro empuja mas fuerte, mas peso se mueve mas lento.

2. La regla del resorte: ley de Hooke

• Formula:

$$F = -k \cdot x$$

• El signo - significa que fuerza y desplazamiento van en sentidos opuestos.
• Por Newton, F = m \cdot a, la aceleracion es:

$$a = -\frac{k}{m} \cdot x$$

• Lejos del centro aceleras fuerte hacia el centro. En el centro a = 0, te pasas de largo y por eso oscilas.

3. Como es el vaiven: movimiento armonico simple

• La posicion en cada instante es:

$$x(t) = A \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi)$$

• Frecuencia angular:

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

en rad/s. No depende de cuanto estires.

• Periodo: tiempo de una ida y vuelta:

$$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$$

en segundos.

• Frecuencia: oscilaciones por segundo:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$$

en Hz.

• Claves del ritmo:
  • Mas m -> vaiven mas lento, T grande.
  • Mas k -> vaiven mas rapido, T pequeno.
  • Rapidez maxima en el centro:

$$v_{max} = A \cdot \omega$$

• Aceleracion maxima en los extremos:

$$a_{max} = A \cdot \omega^{2}$$

4. La energia va y viene

• Cinetica, por moverse:

$$E_{c} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2}$$

• Potencial elastica, por estar estirado:

$$E_{p} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^{2}$$

• Total constante:

$$E = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^{2}$$

• En los extremos te detienes un instante: todo es Ep. En el centro pasas rapidisimo: todo es Ec.

5. Ejemplo expres

• Datos: m = 0,5 kg, k = 50 N/m, A = 0,1 m.

$$\omega = \sqrt{50/0,5} = \sqrt{100} = 10$$

rad/s.

$$T = 2\pi/10 \approx 0,63$$

s y

$$f \approx 1,59$$

Hz.

$$v_{max} = 0,1 \cdot 10 = 1$$

m/s.

$$E = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (0,1)^{2} = 0,25$$

J. Esa energia se mantiene.

Checklist para el examen

• F = -k \cdot x: siempre empuja al equilibrio.
• T = 2\pi \cdot sqrt(m/k): solo depende de m y k, no de A.
• E = 0,5 \cdot k \cdot A^{2}: depende de k y A.
• v_max en el centro, a_max en los extremos.