Áreas de Regiones Circulares

1. Idea central

• El área mide la superficie interior que puedes pintar.
• En todo lo circular, si conoces el radio r, puedes calcular todo lo demás.
• Punto de partida: la pizza completa, o sea, el círculo.

2. Vocabulario mínimo

• Circunferencia: solo la línea del borde. Longitud L = 2 π r.
• Círculo: borde más interior. Toda la pizza.
• Radio r: distancia del centro al borde.
• Diámetro d: doble del radio, cruza por el centro. d = 2 r.
• Ángulo central α: ángulo con vértice en el centro que abre la tajada. Ej. α = 90°.
• Número π: constante ≈ 3,14. Aparece siempre en lo circular.

3. Las 4 áreas clave

1. Círculo completo

• Fórmula base: A = π r²
• Clave: el área crece como cuadrado. Si duplicas r, el área se hace 4 veces más grande.

2. Sector circular: la tajada

• Limitado por dos radios y un arco.
• Es una fracción del círculo según α.
• Fórmula: A_sector = (α / 360°) · π r²
• Ejemplo mental: si α = 90°, es 1/4 de pizza, porque 90° / 360° = 1/4.

3. Corona circular: el anillo

• Zona entre dos círculos con mismo centro, radio grande R y radio pequeño r.
• Es una resta: pizza grande menos hueco del centro.
• Fórmula: A_corona = π R² - π r² = π (R² - r²)

4. Segmento circular: el casquete del borde

• Zona entre un arco y su cuerda.
• Se calcula como sector menos triángulo.
• Fórmula: A_segmento = (α / 360°) · π r² - (1/2) r² · sen(α)
• Donde (1/2) r² · sen(α) es el área del triángulo formado por los dos radios y la cuerda.

4. Tabla resumen

• Círculo: toda la pizza → A = π r²
• Sector: tajada con punta en el centro → A = (α / 360°) · π r²
• Corona: anillo entre R y r → A = π (R² - r²)
• Segmento: pedacito del borde → A_sector - A_triángulo

5. Ejemplo modelo: sector con r = 6 cm y α = 60°

• Paso 1 - Datos: r = 6 cm, α = 60°
• Paso 2 - Fórmula: sector, porque es una tajada: A_sector = (α / 360°) · π r²
• Paso 3 - Reemplazo: A = (60° / 360°) · π · (6 cm)²
• Paso 4 - Simplifica: 60° / 360° = 1/6, (6 cm)² = 36 cm² → A = (1/6) · π · 36 cm² = 6 π cm² ≈ 18,84 cm²

6. Para recordar

• Base de todo: A = π r².
• Sector: fracción del círculo según su ángulo.
• Corona: resta de áreas.
• Segmento: sector menos triángulo, es el caso más elaborado.