¿Qué es la relación de áreas?

La relación de áreas te dice cuántas veces cabe una figura en otra.

• Se calcula dividiendo dos áreas.
• El resultado no tiene unidades, solo indica veces.
• Si R = 2, la primera es el doble. Si R = 1/3, es la tercera parte.

Conceptos clave que debes dominar

• Relación o razón: comparación entre dos cantidades con una división.
• Área: medida de la superficie que ocupa una figura en el plano.
• Figuras semejantes: misma forma, distinto tamaño. Todos sus lados crecen en la misma proporción.

Fórmula general: solo divide

Para dos figuras cualquiera:

$$R = \frac{A_1}{A_2}$$

Donde R es la relación, A1 es el área de la primera figura y A2 es el área de la segunda.

Caso más usado: figuras semejantes

Si los lados están en proporción k, las áreas están en proporción k al cuadrado:

• Razón lineal:

$$k = \frac{l_1}{l_2}$$

• Relación de áreas:

$$\frac{A_1}{A_2} = k^2$$

¿Por qué al cuadrado? Porque el área siempre multiplica dos longitudes. Ejemplo: en un cuadrado A = l · l. Analogía: si una pizza cuadrada tiene el doble de lado que otra, no trae el doble de pizza, trae 4 veces más, porque 2² = 4.

Atajo con triángulos

Como A = (b · h) / 2, si comparten un dato se cancela al dividir:

• Misma altura h, bases b1 y b2:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{b_1}{b_2}$$

• Misma base b, alturas h1 y h2:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{h_1}{h_2}$$

• Semejantes con razón k:

$$\frac{A_1}{A_2} = k^2$$

Ejemplo modelo

Dos cuadrados semejantes tienen lados 3 y 6. ¿Relación de áreas?

1. Halla k:

$$k = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

1. Eleva al cuadrado:

$$\frac{A_1}{A_2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$$

1. Interpreta: el pequeño es la cuarta parte del grande; el grande es 4 veces el pequeño.

Resumen para el examen

• La relación es la división A1 / A2 y no lleva unidades.
• Si los lados crecen en proporción k, las áreas crecen en proporción k^2.
• En triángulos con igual altura, la relación de áreas es igual a la relación de bases.
• Estrategia: primero busca k o el dato común, luego divide o eleva al cuadrado.