Operaciones entre Conjuntos: Resumen de Estudio

Idea central en 10 segundos

• Las operaciones crean un grupo nuevo a partir de 2 grupos que ya tienes.
• Todo depende de: ¿qué elementos quedan dentro y cuáles quedan fuera?
• Analogía: F = los que juegan fútbol, V = los que juegan vóley.
  • Juntar a todos: unión
  • Solo los que están en ambos: intersección
  • Quitarle a uno los del otro: diferencia
  • Solo los que están en uno: diferencia simétrica

Conceptos clave previos

• Conjunto: grupo o colección de objetos.
• Elemento: cada objeto que está dentro del grupo.
• Diagrama de Venn: dibujo con círculos que se cruzan para ver las combinaciones.
• Universo (U): total de elementos de los que hablamos. Solo se usa para el complemento.
• Regla de oro: en un conjunto no se repiten elementos.

1. Unión: juntar todo

• Qué conserva: todo lo de ambos.

$$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ o } x \in B\}$$

• Ejemplo: Si $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4\}$, entonces $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$. El 3 va una sola vez.

2. Intersección: lo común

• Qué conserva: solo lo común, lo que está en A y en B a la vez.

$$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \in B\}$$

• Es la zona donde se superponen los 2 círculos.
• Ejemplo: Con $A = \{1, 2, 3\}$ y $B = \{3, 4\}$, entonces $A \cap B = \{3\}$.

3. Diferencia: quitar lo del otro

• Qué conserva: lo de A que no está en B.

$$A - B = \{x \mid x \in A \text{ y } x \notin B\}$$

• ¡Ojo! El orden sí importa: $A - B$ no es lo mismo que $B - A$.
• Ejemplo: $A - B = \{1, 2\}$ y .

4. Diferencia simétrica: lo exclusivo

• Qué conserva: lo que está en uno u otro, pero no en ambos. Es lo opuesto a la intersección.

$$A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$$

• También:

$$A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$$

• Ejemplo: $A \Delta B = \{1, 2, 4\}$.

5. Complemento: lo que falta para completar todo

• Qué conserva: lo de U que está fuera de A. Siempre depende del universo U que elijas.

$$A^{c} = \{x \mid x \in U \text{ y } x \notin A\}$$

• Ejemplo: Si $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ y $A = \{1, 2, 3\}$, entonces .

Ejemplo modelo completo

• Datos: $A = \{a, b, c, d\}$ y $B = \{c, d, e, f\}$. Lo común es c y d.

Tabla resumen para memorizar

• Unión $A \cup B$: todo lo de ambos -> $\{a, b, c, d, e, f\}$
• Intersección $A \cap B$: solo lo común ->

Claves para el examen

• La unión junta y la intersección filtra lo común.
• La diferencia depende del orden.
• La diferencia simétrica se queda con lo no compartido.
• El complemento siempre depende de U.
• Nunca repitas elementos en el resultado.