Relaciones entre conjuntos

Idea central

• Los conjuntos se comparan entre sí.
• Si todo lo de un grupo está también en otro, si son exactamente iguales o si no tienen nada en común, eso es una relación entre conjuntos.
• Piensa en cada conjunto como una mochila bien definida y cada elemento como un objeto dentro, como un lápiz o un cuaderno.

1. No confundas pertenecer con incluir

• Pertenencia: relaciona un elemento con un conjunto.
• $x \in A$: x está en A. Ejemplo: si $A = {1, 2}$, entonces $1 \in A$.
• $x \notin A$: x no está en A. Ejemplo: $3 \notin A$.
• Inclusión: relaciona un conjunto con otro conjunto.
• $A \subseteq B$: A está incluido en B.
• Definición exacta: $A \subseteq B \iff \forall x \, (x \in A \Rightarrow x \in B)$
• En simple: todo elemento de A también es elemento de B, aunque B tenga elementos extra.

2. Subconjunto y superconjunto

• Si $A \subseteq B$, A es subconjunto de B, es una parte de B.
• Al revés, B es superconjunto de A: $B \supseteq A$.
• Todo conjunto está incluido en sí mismo: $A \subseteq A$ siempre es verdad.
• El conjunto vacío está incluido en todos: $\emptyset \subseteq A$ para cualquier A.

3. Igualdad de conjuntos

• Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.
• No importa el orden ni la repetición.
• Definición: $A = B \iff A \subseteq B \text{ y } B \subseteq A$
• Ejemplo: si $A = {2, 4}$ y , entonces .

4. Conjuntos comparables

• A y B son comparables si uno está incluido en el otro.
• Condición: $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$.
• Ejemplo comparable: $A = {1, 2}$ y $B=$ porque .

5. Conjuntos disjuntos

• A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común.
• Usando la intersección, que es la parte común y se escribe $A \cap B$:
• Condición: A y B son disjuntos $\iff A \cap B = \emptyset$.
• Ejemplo: $A = {1, 2}$ y son disjuntos.

Tabla resumen de relaciones

• Inclusión $A \subseteq B$: Todo lo de A está en B.
• Subconjunto propio $A \subsetneq B$: Todo lo de A está en B, pero B tiene algo más.
• Igualdad $A = B$: Tienen exactamente lo mismo.
• Disjuntos $A \cap B = \emptyset$: No comparten ningún elemento.

En resumen para el examen

• $x \in A$ es pertenencia de elemento a conjunto, $A \subseteq B$ es inclusión de conjunto en conjunto.
• $A = B$ solo ocurre si $A \subseteq B$ y a la vez.