1. ¿Qué significa depender del tiempo?

• Tiempo (t): lo que mide el reloj. Es el punto de partida.
• Posición x(t): el lugar donde está el objeto en el instante t. Se lee equis de te.
• Depender del tiempo: el valor cambia según el t que elijas.
• Función del tiempo: regla que te da el valor para cualquier t. Por ejemplo, x(t) es la regla para la posición.
• Analogía: compartir tu ubicación en tiempo real por celular. Cada segundo el punto se mueve, el velocímetro marca la rapidez y puedes estar acelerando. La dependencia temporal es esa película completa, segundo a segundo.

2. Las tres cantidades y cómo se conectan

• Posición x(t): dónde estás en cada t. Ejemplo: x(t) = 10 + 5 t.
• Velocidad v(t): qué tan rápido cambia la posición justo en ese t. Es el ritmo de cambio de x(t).
• Aceleración a(t): qué tan rápido cambia la velocidad justo en ese t. Es el ritmo de cambio de v(t).

• Relaciones exactas con derivada (ritmo de cambio instantáneo):

$$v(t) = dx/dt$$

$$a(t) = dv/dt$$

• Al revés por acumulación: acumulas la velocidad a lo largo de t para saber cuánto avanzaste, y acumulas la aceleración a lo largo de t para saber cuánto cambió tu velocidad.
• Idea clave: si conoces una de las tres funciones del tiempo, puedes encontrar las otras.

3. Caso más usado: aceleración constante

• En preuniversitario casi todo es con a constante.
• Aquí x0 es la posición en t = 0 y v0 es la velocidad en t = 0.
• | Movimiento | a(t) | v(t) | x(t) |
• |---|---|---|---|
• | Reposo | 0 | 0 | x0 |
• | MRU con velocidad constante | 0 | v0 | x0 + v0 t |
• | MRUV con aceleración constante | a | v0 + a t | x0 + v0 t + (1/2) a t^2 |
• Patrón: si a(t) es constante, entonces v(t) es una recta y x(t) es una parábola. Cada acumulación sube un grado.

4. Ejemplo modelo

• Ley con x en metros y t en segundos:

$$x(t) = 5 + 4 t + 2 t^2$$

• Paso 1: reconoce la forma. Ves t y t^2, es parábola típica de MRUV.
• Paso 2: halla v(t) derivando x(t). Derivada de 5 es 0, de 4 t es 4, de 2 t^2 es 4 t:

$$v(t) = 4 + 4 t$$

• Paso 3: halla a(t) derivando v(t). Derivada de 4 es 0, de 4 t es 4:

$$a(t) = 4$$

Constante, vale 4 metros por segundo al cuadrado en todo instante.

• Paso 4: evalúa en t = 3. Reemplazas t por el instante pedido:

$$x(3) = 5 + 4(3) + 2(9) = 35$$

o sea 35 metros.

$$v(3) = 4 + 4(3) = 16$$

o sea 16 metros por segundo. Con una sola función x(t) reconstruiste todo el movimiento.

5. Claves para recordar

• x(t), v(t) y a(t) son posición, velocidad y aceleración en cada instante t.
• v(t) es el ritmo de cambio de x(t):

$$v(t) = dx/dt$$

.

• a(t) es el ritmo de cambio de v(t):

$$a(t) = dv/dt$$

.

• Si a es constante, v(t) es recta y x(t) es parábola según la tabla del MRUV.