Superficies de revolución

1. Idea central

• Una superficie de revolución es la cáscara que deja una curva al dar una vuelta completa de $360^{\circ}$ alrededor de una línea fija.
• Si giras un alambre alrededor de un palito, la huella que deja en el aire es la superficie.
• Solo mide la piel exterior: no incluye relleno macizo ni tapas.

2. Vocabulario clave

• Superficie: solo la piel o cáscara exterior.
• Generatriz: la curva que gira y genera la superficie. Es el molde inicial.
• Eje de giro: la línea recta y fija alrededor de la cual gira la generatriz. No se mueve.
• Radio de giro ($r$): la distancia más corta entre un punto de la generatriz y el eje.
• Paralelo: el círculo que describe un solo punto al girar. Es su órbita.
• Meridiano: lo que ves si cortas la superficie con un plano que pasa por el eje, como partir una naranja por la mitad.

3. Cómo se forma

1. Elige la generatriz: puede ser recta o curva, por ejemplo un segmento de largo $h$.
2. Coloca el eje de giro: la posición lo decide todo. Si es paralela sale un tubo, si la cruza sale una punta.
3. Gira una vuelta completa: cada punto dibuja un paralelo de radio $r$. A mayor $r$, círculo más grande.
4. Junta todos los paralelos: la unión de todos esos círculos es la superficie final.

• Piensa en el torno de alfarero: el alambre curvo al girar barre el espacio y deja una vasija.

4. Las 4 superficies más famosas

• Cilindro lateral sin tapas: segmento paralelo al eje, a distancia $r$ y largo $h$. $A = 2 \pi r h$
• Cono lateral sin base: segmento inclinado de largo $g$ que toca el eje en un extremo, con radio máximo $r$.

5. Ejemplo modelo

• Generatriz $g = 5 \text{ cm}$ con un extremo sobre el eje y otro a $r = 3 \text{ cm}$.
• El radio va de $0$ a $r$: empieza en punta y se abre como barquillo, forma un cono.
• Fórmula: $$

6. Claves para recordar

• Nace al girar una generatriz una vuelta completa alrededor de un eje fijo.
• Cada punto dibuja un paralelo cuyo tamaño depende de $r$.
• Paralela al eje = cilindro, inclinada que toca el eje = cono, semicírculo = esfera.
• El área solo mide la cáscara y siempre usa $\pi$.