Desigualdades Geométricas en el Triángulo

Idea central

• Una desigualdad geométrica compara con > o < lados o ángulos, sin buscar la medida exacta.
• Idea para recordar: caminar directo de A a C cansa menos que ir de A a B y luego a C.
• En un triángulo: el lado mayor se opone al ángulo mayor.

1. Regla 1: Desigualdad triangular

• Con lados a, b y c, deben cumplirse las tres:
  • a + b > c
  • a + c > b
  • b + c > a
• Forma compacta para recordar (para el lado c):
  • |a - b| < c < a + b
• Lectura: c es mayor que la diferencia y menor que la suma de los otros dos.
• Ejemplo clave: 3, 4 y 8 no forman triángulo, porque 3 + 4 > 8 es falso (7 > 8 no se cumple).

2. Regla 2: A mayor lado, mayor ángulo opuesto

• El lado opuesto es el que está enfrente y no toca al ángulo. Vale en el mismo triángulo.
• Si a y b son lados y A y B sus ángulos opuestos:
  • Si a > b, entonces A > B
  • Si A > B, entonces a > b
• Con tres lados ordenados:
  • Si a > b > c, entonces A > B > C
• Uso: sirve para ordenar lados y ángulos sin medir todo.

3. Regla 3: El ángulo exterior gana a los lejanos

• El ángulo exterior e se forma al prolongar un lado hacia afuera.
• Regla:
  • e > A
  • e > B
• Donde A y B son los interiores no adyacentes o lejanos.
• Por qué: e = A + B, y la suma es mayor que cada parte.

4. Regla 4: La perpendicular es el camino más corto

• Si P está fuera de una recta, H es el pie perpendicular y A es otro punto cualquiera de la recta:
  • PH < PA
• Toda oblicua (inclinada) es más larga que la perpendicular (90°).

5. Mini-ejemplo modelo

• Triángulo ABC con AB = 5, AC = 9, BC = x entero:
  • |9 - 5| < x < 9 + 5 → 4 < x < 14
  • x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
  • Si x = 13, el mayor lado es BC = 13, su opuesto es A, entonces A es el ángulo más grande.

Resumen final para memorizar

• Solo hay triángulo si |a - b| < c < a + b.
• Si a > b, entonces A > B (mismo triángulo).
• Todo exterior e cumple e > A y e > B.
• Perpendicular más corta: PH < PA.