Algoritmo de la división

1. Idea central

• Todo número se puede escribir como grupos completos más lo que sobra.
• Ejemplo: con 37 caramelos en bolsitas de 5, llenas todas las bolsitas completas que puedas.
• Salen 7 bolsitas llenas y 2 caramelos sueltos, sin alcanzar para otra bolsita.
• Ese reparto no falla nunca y es único.

2. Qué dice el algoritmo de la división

• Trabajamos en N: solo 0, 1, 2, 3, sin decimales ni negativos.
• Algoritmo significa procedimiento ordenado que siempre funciona.
• Regla: Dados a y b en N, con b > 0, existen un único q y un único r en N tales que:

$$a = bq + r$$

con $0 <= r < b$.

• Aquí bq significa b*q.
• Único significa que solo hay un par q, r que cumple todo.

3. Las cuatro piezas

• Dividendo a: el total a repartir. Ejemplo: 37 caramelos.
• Divisor b: el tamaño de cada grupo completo. Nunca puede ser 0. Ejemplo: grupos de 5.
• Cociente q: cuántos grupos completos salen. Ejemplo: 7 bolsitas.
• Resto o residuo r: lo que sobra. Siempre es menor que el divisor. Ejemplo: 2 sueltos.

4. La condición clave: $0 <= r < b$

• Es la que valida si la cuenta está bien hecha.
• Si r = 0, el reparto es exacto: se dice que b divide a a.
• Si r > 0, el reparto es inexacto: sobró algo, pero sin alcanzar para otro grupo.
• Si no se cumple r < b, puedes formar otro grupo y q debe crecer.

5. Ejemplo resuelto: 37 entre 5

• Paso 1 - Identifica: a = 37, b = 5.
• Paso 2 - Busca q: prueba múltiplos de 5: 56 = 30, 57 = 35, 5*8 = 40 ya se pasa. El mayor posible es q = 7.
• Paso 3 - Calcula r: r = 37 - 35 = 2.
• Paso 4 - Verifica: 0 <= 2 < 5 es verdadero, no alcanza para otra bolsita.
• Paso 5 - Resultado final:

$$37 = 5*7 + 2$$

con cociente q = 7 y resto r = 2.

6. Resumen para memorizar

• Todo a se escribe de forma única como a = bq + r con 0 <= r < b si b > 0.
• q cuenta los grupos completos y r cuenta lo que sobra.
• Si r = 0 es exacta, si r > 0 es inexacta.
• El resto siempre cumple r < b.