Permutaciones: Ordenar Sí Importa

Idea Central

• Permutar es ordenar. Si tienes objetos diferentes y el orden importa, cada orden distinto es una permutación.
• Pregunta que responde: ¿de cuántas filas distintas puedo formarlos?
• Analogía de la foto del salón: ordenar amigos para una foto en fila. No es lo mismo Ana-Beto-Cora que Cora-Ana-Beto. Cambió el orden, cambió la foto.
• Conceptos clave:
  • Orden: posición de cada elemento.
  • Elemento: cada objeto o persona que ordenas.

1. Ingrediente Previo: El Factorial

• El factorial es la herramienta para multiplicar en cascada hasta 1.
• Se escribe con admiración: $P_{n} = n!$
• Desarrollo: $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$
• Ejemplos:
  • $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
  • $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
• Reglas de oro:
  • $1! = 1$
  • $0! = 1$ por acuerdo, sirve para que las fórmulas funcionen.
• El factorial crece rapidísimo, por eso hay muchísimas formas de ordenar.

2. Permutación Lineal Sin Repetición: El Caso Base

• Qué es: ordenar todos los objetos distintos en línea recta. Cada objeto aparece una sola vez.
• Lógica de casillas vacías:
  • 1er lugar: $n$ opciones
  • 2do lugar: $n-1$ opciones
  • 3er lugar: $n-2$ opciones, y así sigues.
• Fórmula: $P_{n} = n!$

3. Permutación Con Repetición: Cuando Hay Gemelos

• Qué es: hay objetos iguales entre sí. Cambiarlos entre ellos no crea un orden nuevo.
• Repetición: un mismo tipo aparece varias veces.
• Idea clave: si los trataras como distintos, contarías de más. Debes dividir para quitar repetidos.
• Fórmula: $P_{n}^{a,b,c} = \frac{n!}{a! \times b! \times c!}$

4. Permutación Circular: Ordenar En Ronda

• Qué es: ordenar en círculo, como ronda cogidos de la mano, no en fila.
• Idea clave: solo importa la posición de unos respecto a otros. Girar toda la ronda no crea forma nueva.
• Truco: fija a uno para romper el giro y ordena a los demás. Por eso se resta 1.
• Fórmula: $P_{c}(n) = (n-1)!$
• Donde $n$ es el número de personas u objetos distintos en la ronda.

5. Tabla Para No Confundirte

• Hazte 3 preguntas clave: ¿ordeno todo? ¿hay iguales? ¿es fila o ronda?
• | Tipo | ¿Cuándo usarla? | Fórmula |
• |---|---|---|
• | Lineal sin repetición | Todos distintos en fila | $P_{n} = n!$ |
• | Con repetición | Hay iguales, en fila | $P_{n}^{a,b} = \frac{n!}{a! \times b!}$ |

6. Ejemplo Modelo Paso a Paso

• Problema: ¿De cuántas formas se sientan 5 amigos distintos en 5 sillas en fila?
• Paso 1 - Identifica: ¿Usamos todos? Sí, 5 para 5. ¿Importa orden? Sí. ¿Repetidos? No. ¿Fila o círculo? Fila. Es lineal sin repetición con $n=5$.
• Paso 2 - Fórmula: $P_{5} = 5!$
• Paso 3 - Calcula por sillas:
  • Silla 1: 5 opciones, Silla 2: 4, Silla 3: 3, Silla 4: 2, Silla 5: 1.
  • $$

En Resumen

• Permutar es ordenar. Si el orden cambia, es otra permutación.
• Distintos en fila: $P_{n} = n!$
• Con iguales que se repiten $a,b$ veces, divide: $\frac{n!}{a! \times b!}$