Bisectriz de un ángulo

El corte justo del medio

1. ¿Qué es?

• Es la semirrecta que sale del vértice y parte el ángulo en dos ángulos exactamente iguales.
• Ni cargada a un lado ni al otro: la línea del medio justo.
• Analogía: corte de pizza desde la punta que deja dos porciones gemelas. Si doblas el papel por ahí, calzan perfecto.

2. Palabras clave

• Ángulo $\angle AOB$: abertura entre dos líneas unidas en un punto.
• Vértice $O$: puntito donde se unen. En $\angle AOB$ es $O$.
• Lados $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$: las dos semirrectas que forman la abertura.
• Semirrecta: línea con inicio pero sin fin.
• Lugar geométrico: conjunto de todos los puntos que cumplen una misma regla.
• Equidistar: estar a igual distancia de dos cosas.

3. Definición completa

Bisectriz: semirrecta que parte del vértice y divide al ángulo en dos de igual medida. Es el lugar geométrico de los puntos interiores que equidistan de los lados.

Si $\overrightarrow{OP}$ es bisectriz de $\angle AOB$:

$$m(\angle AOP) = m(\angle POB) = \frac{1}{2} m(\angle AOB)$$

4. Propiedad estrella: equidistancia

• Teorema de la bisectriz: todo punto de la bisectriz está a igual distancia de los dos lados. Y al revés: si un punto interior equidista de los lados, está sobre la bisectriz.
• La distancia se mide en perpendicular, el camino más corto, formando $90^\circ$.
• Unicidad: cada ángulo tiene una sola bisectriz interior.

Lista rápida:

• División igual: $m(\angle AOP) = m(\angle POB)$
• Equidistancia: si $P$ está en la bisectriz, $d(P, OA) = d(P, OB)$

5. Cómo resolver el ejercicio típico

1. Iguala las dos partes por ser bisectriz.
2. Despeja $x$.
3. Reemplaza y verifica que den lo mismo.

• Ejemplo: $m(\angle AOP) = (2x+15)^\circ$ y $m(\angle POB) = (3x+5)^\circ$ → → → cada parte , total .

En resumen

• Sale del vértice y crea dos ángulos gemelos.
• Es lugar geométrico de equidistancia a los lados.
• Cumple igualdad de medidas.
• Para hallar $x$: iguala, despeja y comprueba.