Valor absoluto de números reales

1. Idea clave: distancia al cero

• Un número real es cualquier número que puedes marcar en la recta: $-2$, $-1.5$, $0$, $1$, $2.3$.
• La distancia es cuántos pasos hay entre dos puntos, sin importar la dirección. Nunca es negativa.
• El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ al cero.
• Por eso el resultado siempre es cero o positivo.

Situación cotidiana: Tu casa está en el $0$ de una calle recta.

• Caminas $4$ cuadras a la derecha: llegas al $4$.
• Tu hermana camina $4$ cuadras a la izquierda: llega al $-4$.
• ¿Quién está más lejos? Los dos están a $4$ cuadras: $|4| = 4$ y .

2. Definición paso a paso

• Caso 1: si $x \ge 0$, se queda igual:
  • $|5| = 5$
  • $|0| = 0$
• Caso 2: si $x < 0$, se cambia por su opuesto:

Fórmula general:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{si } x \ge 0 \\ -x, & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

Ojo: $-x$ no significa número negativo, significa el opuesto de $x$. Si $x = -5$, entonces $-x = -(-5) = 5$.

3. Propiedades que te ahorran tiempo

• Nunca es negativo: $|x| \ge 0$. Ejemplo: $|-3| = 3$.
• Solo el cero tiene valor absoluto cero: $|x| = 0$ solo si . Ejemplo: .

4. Ejemplo modelo

Calculemos $|-6| + |4 - 9|$:

1. Opera primero lo que está dentro de las barras: las barras son como paréntesis. Como $4 - 9 = -5$, queda $|-6| + |-5|$.
2. Aplica la definición a cada valor absoluto: como $$, . Como , .

5. Lo esencial para el examen

• $|x|$ es distancia a $0$: siempre es $0$ o positivo.
• Si $x \ge 0$, $|x| = x$. Si , .