Intervalos reales: tramo continuo de la recta

1. Idea central

• Un intervalo real es un conjunto formado por todos los números reales entre dos valores, sin huecos ni saltos.
• Es como cortar un pedazo seguido de una cinta métrica infinita.
• Cada extremo es el valor donde empieza o termina el tramo, con a < b.

2. Notación: ¿incluye o no incluye?

• Corchete [ ] = cerrado = el extremo sí está incluido.
• Paréntesis ( ) = abierto = el extremo no está incluido.
• Todo intervalo se puede escribir de 3 formas: desigualdad, notación de intervalo y dibujo en la recta.

3. Pertenencia y recta numérica

• Si x está dentro del tramo: x ∈ A.
• Si x está fuera del tramo: x ∉ A.
• En la recta numérica: punto lleno • = incluido, punto vacío ○ = excluido.
• Se pinta con fuerza todo el tramo entre los extremos.

4. Tipos principales con a < b

• Cerrado [a,b]: a ≤ x ≤ b → • en a y • en b.
• Abierto (a,b): a < x < b → ○ en a y ○ en b.
• Semiabierto a la izquierda (a,b]: a < x ≤ b → ○ en a y • en b.
• Semiabierto a la derecha [a,b): a ≤ x < b → • en a y ○ en b.
• Infinito a la derecha (a, ∞): x > a → ○ en a y flecha a la derecha.
• Infinito a la izquierda (-∞, b]: x ≤ b → flecha desde la izquierda y • en b.

5. Regla de oro del infinito

• ∞ significa que el tramo sigue sin parar a la derecha.
• -∞ significa que sigue sin parar a la izquierda.
• Con ∞ o -∞ siempre se usa paréntesis, nunca se incluye el final.
• Modelo general de acotado: a ≤ x ≤ b.

6. Ejemplo modelo

• Conjunto: {x ∈ ℝ | -1 < x ≤ 4} → intervalo (-1,4].
• Lectura: después de -1 sin incluirlo, hasta 4 incluyéndolo.
• Recta: ○ en -1, • en 4, tramo pintado entre ellos.
• Comprobación: 0 cumple -1 < 0 ≤ 4, entonces 0 ∈ A. -1 no cumple, entonces -1 ∉ A.

7. Claves para recordar

• Intervalo = conjunto continuo entre dos extremos.
• incluye, ( ) excluye.
• Revisa siempre: desigualdad, notación y dibujo deben decir lo mismo.
• Con infinito, siempre paréntesis y flecha sin fin.