Variaciones: Resumen de Estudio
Variaciones
1. Idea central
Una variación es una forma de elegir k elementos de un conjunto de n y colocarlos en un orden. En las variaciones el orden importa: elegir las llaves roja–azul–verde es distinto de elegir verde–azul–roja.
Se denota V(n,k): variación de n elementos tomados de k en k.
2. Vocabulario clave
- Conjunto: grupo de n elementos disponibles.
- Elementos distintos: cada elemento es diferente de los demás.
- Selección: escoger k elementos del conjunto.
- Orden: posición que ocupa cada elemento elegido (1.º, 2.º, 3.º…).
- Sin repetición: cada elemento se usa una sola vez, por lo que k≤n.
- Factorial: .
3. Principio multiplicativo
Si una tarea se realiza en pasos sucesivos, el número total de formas de hacerla es el producto de las opciones de cada paso.
Para ordenar k elementos de n:
| Paso | Opciones |
|---|
| 1.er puesto | n |
| 2.º puesto | n−1 |
| 3.er puesto | n−2 |
| -ésimo puesto |
4. Fórmulas
Variación sin repetición
V(n,k)=n(n−1)(n−2)⋯(n
¿Por qué se divide por (n−k)!? Porque al expandir n! aparecen los factores desde (n−k) hasta 1, que no intervienen en la selección; al dividir por se eliminan.
Variación con repetición
Si cada elemento puede usarse varias veces, cada paso tiene n opciones:
V′(n,k)=nk
Caso particular: permutación
Si ordenamos todos los elementos (k=n):
V(n,n)=n!
5. Ejemplo resuelto
Problema: 8 corredores; ¿de cuántas formas pueden ocuparse el 1.er, 2.º y 3.er puesto?
- ¿Importa el orden? Sí, el podio cambia según quién quede primero. Es una variación.
- Identificar n y k: n=8 corredores, k=3 puestos.
- ¿Hay repetición? No, un corredor no ocupa dos puestos. Es sin repetición.
- Aplicar la fórmula:
V(8,3)=(8−3)!8!=
Respuesta: hay 336 formas de ocupar el podio. ✓ (Comprobación multiplicativa: 8×7×6=336.)
6. Cuadro comparativo
| Situación | Fórmula | Ejemplo |
|---|
| Variación sin repetición | V(n,k)=(n−k)! |
7. Errores frecuentes
- Confundir variación con combinación: si el orden no importa, no es variación.
- Olvidar que en la variación sin repetición no se puede tomar dos veces el mismo elemento.
- Usar nk cuando no hay repetición permitida (por ejemplo, elegir 3 personas de un grupo).
8. En resumen
- Una variación cuenta las formas de elegir y ordenar k elementos de n: el orden importa.
- Sin repetición: V(n,k)=(, con .