Variaciones

1. Idea central

Una variación es una forma de elegir $k$ elementos de un conjunto de $n$ y colocarlos en un orden. En las variaciones el orden importa: elegir las llaves roja–azul–verde es distinto de elegir verde–azul–roja.

Se denota $V(n,k)$: variación de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$.

2. Vocabulario clave

• Conjunto: grupo de $n$ elementos disponibles.
• Elementos distintos: cada elemento es diferente de los demás.
• Selección: escoger $k$ elementos del conjunto.
• Orden: posición que ocupa cada elemento elegido (1.º, 2.º, 3.º…).
• Sin repetición: cada elemento se usa una sola vez, por lo que $k \le n$.
• Factorial: $n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1$.

3. Principio multiplicativo

Si una tarea se realiza en pasos sucesivos, el número total de formas de hacerla es el producto de las opciones de cada paso.

Para ordenar $k$ elementos de $n$:

4. Fórmulas

Variación sin repetición

$$V(n,k) = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$$

¿Por qué se divide por $(n-k)!$? Porque al expandir $n!$ aparecen los factores desde $(n-k)$ hasta $1$, que no intervienen en la selección; al dividir por se eliminan.

Variación con repetición

Si cada elemento puede usarse varias veces, cada paso tiene $n$ opciones:

$$V'(n,k) = n^k$$

Caso particular: permutación

Si ordenamos todos los elementos ($k=n$):

$$V(n,n) = n!$$

5. Ejemplo resuelto

Problema: 8 corredores; ¿de cuántas formas pueden ocuparse el 1.er, 2.º y 3.er puesto?

1. ¿Importa el orden? Sí, el podio cambia según quién quede primero. Es una variación.
2. Identificar $n$ y $k$: $n = 8$ corredores, $k = 3$ puestos.
3. ¿Hay repetición? No, un corredor no ocupa dos puestos. Es sin repetición.
4. Aplicar la fórmula:

$$V(8,3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8\cdot 7\cdot 6 = 336$$

Respuesta: hay 336 formas de ocupar el podio. ✓ (Comprobación multiplicativa: $8\times 7\times 6 = 336$.)

6. Cuadro comparativo

7. Errores frecuentes

• Confundir variación con combinación: si el orden no importa, no es variación.
• Olvidar que en la variación sin repetición no se puede tomar dos veces el mismo elemento.
• Usar $n^k$ cuando no hay repetición permitida (por ejemplo, elegir 3 personas de un grupo).

8. En resumen

• Una variación cuenta las formas de elegir y ordenar $k$ elementos de $n$: el orden importa.
• Sin repetición: $V(n,k) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$, con .