Punto, recta y plano

1. Idea central

El punto, la recta y el plano son las tres figuras fundamentales de la geometría. Son figuras ideales: no tienen ni una dimensión de más de la que les corresponde (ni grosor, ni área cuando no toca). A partir de ellas se construye todo lo demás.

Analogía con la vida diaria (mesa infinita):

• Superficie de la mesa → plano
• Canto o borde de la mesa → recta
• Grano de arena sobre la mesa → punto

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2. El punto

• Definición: marca exacta de posición en el espacio. No tiene largo, ancho ni alto (dimensión 0).
• Notación: letra mayúscula ($A$, $B$, $P$).
• Lo que se dibuja es una pequeña mancha que representa el punto.
• Puede estar sobre una recta, sobre un plano o sobre ambos.

Notación de pertenencia:

• $A \in r$ → «el punto $A$ pertenece a la recta $r$»
• $A \notin \alpha$ → «el punto al plano »

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3. La recta

• Definición: conjunto infinito de puntos que avanza siempre en la misma dirección. No se curva y se extiende sin fin en ambos sentidos. No tiene grosor (dimensión 1).
• Notación: letra minúscula ($r$, $s$) o dos puntos con flecha doble ($\overleftrightarrow{AB}$).

Postulado: por dos puntos distintos pasa una única recta.

Segmento y semirrecta

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4. El plano

• Definición: superficie plana que se extiende sin fin en todas las direcciones. No tiene grosor (dimensión 2).
• Notación: letra griega ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) o tres puntos no alineados (plano $ABC$).

Postulado: tres puntos no alineados (que no están sobre una misma recta) determinan un único plano.

• Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces toda la recta está contenida en él.

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5. Dimensiones: de 0 a 3

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6. Posiciones relativas

6.1 Punto y recta

• $A \in r$: el punto está sobre la recta.
• $A \notin r$: el punto está fuera de la recta.
• Por un punto exterior pasan infinitas rectas, pero una sola es paralela a la recta dada.

6.2 Dos rectas en el plano

6.3 Dos rectas en el espacio

Además de las anteriores, existen las rectas alabeadas: no se cortan, no son paralelas y no están en el mismo plano. Ejemplo: dos aristas opuestas de una caja.

6.4 Recta y plano

6.5 Dos planos

6.6 Coplanariedad

Dos o más figuras son coplanarias si existe un plano que las contiene a todas.

• Tres puntos no alineados → siempre coplanarios.
• Dos rectas alabeadas → nunca coplanarias.

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7. Ejemplo resuelto

Enunciado. Datos: puntos $A$, $B$, $C$, $D$; $A$, $B$, $$ no están alineados y plano .

a) ¿Cuántos planos pasan por $A$, $B$ y $C$? b) ¿Cuántas rectas se pueden formar uniendo dos a dos los cuatro puntos? c) ¿Cuántos planos distintos contienen al menos tres de esos puntos?

Solución

a) Como $A$, $B$, $C$ no están alineados, el postulado garantiza que existe un único plano que los contiene → 1 plano (plano $ABC$).

b) Una recta se forma con dos puntos; el orden no importa ($AB = BA$). Combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2:

$$\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

Las 6 rectas son: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$ → .

c) Un plano se determina con tres puntos no alineados. Los tríos son: $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ → 4 tríos.

• $ABC$: no alineados por dato.
• Como $D \notin$ plano $ABC$, el punto $D$ no puede estar sobre las rectas $$, ni (que están dentro de ese plano); por tanto ningún otro trío queda alineado.

Respuestas: a) $1$ plano; b) $6$ rectas; c) $4$ planos.

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8. En resumen

• Punto (dim. 0), recta (dim. 1) y plano (dim. 2): ninguno tiene grosor.
• Por dos puntos distintos pasa una única recta; por tres puntos no alineados pasa un único plano.
• Dos rectas del plano: secantes (1 punto común) o paralelas (0 puntos); en el espacio existen además las alabeadas.
• Dos planos: paralelos (0 puntos comunes) o secantes (se cortan en una recta).
• Una recta y un plano: la recta puede estar contenida, cortar al plano (1 punto) o ser paralela (0 puntos).
• Saber si un punto pertenece a una recta o a un plano es el primer paso para resolver casi cualquier problema de geometría.