Operaciones con números reales

1. Idea central

Operar es combinar números para obtener otro número. Las operaciones básicas son suma, resta, multiplicación, división y potencia, y todas siguen reglas fijas de signos, propiedades y orden de cálculo.

2. Números con los que trabajamos

Los números reales ((\mathbb{R})) son los que se ubican en la recta numérica e incluyen:

• Enteros: (-3, 0, 7).
• Racionales: se escriben como (\frac{a}{b}) con (b \neq 0) (por ejemplo (\frac{3}{4}) o (2{,}5)).
• Irracionales: no se escriben como fracción; sus decimales no terminan ni se repiten ((\sqrt{2}), (\pi)).

3. Las operaciones básicas

Una operación toma uno o dos números (operandos) y devuelve un resultado.

Dos equivalencias clave:

• Restar es sumar el opuesto: (a - b = a + (-b)).
• Dividir es multiplicar por el recíproco: (a \div b = a \cdot \frac{1}{b}), con (b \neq 0).

4. Analogía útil: la cuenta del banco

El saldo es un número real: los ingresos son sumas positivas y los gastos, sumas negativas.

• Tienes $120 y gastas $45: (120 + (-45) = 75).
• Pagas tres cuotas de $30: (3 \cdot (-30) = -90).
• Repartes una deuda de $90 entre 3 personas: (-90 \div 3 = -30).

Un saldo negativo no es un error: es un número real válido.

5. Regla de los signos

El valor absoluto (|a|) es la distancia al cero y siempre es positivo: (|-7| = 7).

Regla rápida: en productos y cocientes, signos iguales dan positivo y signos distintos, negativo.

6. Propiedades de las operaciones

Sean (a), (b) y (c) números reales:

1. Conmutativa: (a + b = b + a) y (a \cdot b = b \cdot a).
2. Asociativa: ((a+b)+c = a+(b+c)) y ((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)).
3. Distributiva: (a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c) (puente entre multiplicación y suma).
4. Elementos neutros: (a + 0 = a) y (a \cdot 1 = a).
5. Inversos: el opuesto de (a) es (-a), pues (a + (-a) = 0); el recíproco de (a \neq 0) es (\frac{1}{a}), pues (a \cdot \frac{1}{a} = 1).

7. Jerarquía de las operaciones

Orden obligatorio para que todos obtengan el mismo resultado:

1. Paréntesis y corchetes, de dentro hacia fuera.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Ejemplo: (2 + 3 \cdot 4 = 2 + 12 = 14) (no es (20), porque primero se multiplica).

8. Ejemplo resuelto paso a paso

Calcular:

$$3 - 2 \cdot (4 - 6)^{2} \div (-2) + \frac{1}{2}$$

Paso 1: paréntesis. ((4-6) = -2).

$$3 - 2 \cdot (-2)^{2} \div (-2) + \frac{1}{2}$$

Paso 2: potencia. ((-2)^{2} = (-2)(-2) = 4) (negativo con exponente par da positivo).

$$3 - 2 \cdot 4 \div (-2) + \frac{1}{2}$$

Paso 3: multiplicación y división, de izquierda a derecha. (2 \cdot 4 = 8); luego (8 \div (-2) = -4).

$$3 - (-4) + \frac{1}{2}$$

Paso 4: restar es sumar el opuesto. (3 - (-4) = 3 + 4 = 7).

$$7 + \frac{1}{2}$$

Paso 5: sumar. (7 = \frac{14}{2}), así que (\frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}).

Resultado: (\frac{15}{2} = 7{,}5).

9. Consejos para no perder puntos

• Reescribe cada resta como suma del opuesto antes de calcular.
• Agrupa los términos por signo y por tipo de operación.
• Marca el orden de cálculo: paréntesis → potencias → multiplicaciones y divisiones → sumas y restas.
• Revisa el signo final: en producto o cociente, signos iguales dan positivo.
• Recuerda que un resultado negativo, fraccionario o decimal sigue siendo un número real.

En resumen

• Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, división y potencia; restar es sumar el opuesto y dividir es multiplicar por el recíproco.
• Signos: en productos y cocientes, iguales dan positivo y distintos, negativo.
• Propiedades: conmutativa, asociativa, distributiva, neutros (0) y (1), e inversos (opuesto y recíproco).
• Orden: paréntesis → potencias y raíces → multiplicaciones y divisiones → sumas y restas, de izquierda a derecha.