Fracciones algebraicas: resumen de estudio

1. ¿Qué es una fracción algebraica?

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios:

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \neq 0$$

• Numerador: polinomio de arriba.
• Denominador: polinomio de abajo (nunca puede valer cero).
• Variable: letra (normalmente $x$) que representa un número que puede cambiar.

Ejemplos: $\dfrac{x+3}{x-2}$, $\dfrac{5}{x}$, .

Analogía: repartir 2 pizzas entre $n$ amigos da $\dfrac{2}{n}$ de pizza por persona. Si $n=0$, la repartida no tiene sentido; igual ocurre con cualquier fracción algebraica.

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2. Dominio: ¿para qué valores existe la fracción?

El dominio es el conjunto de valores de la variable para los que la fracción existe. Como no se puede dividir entre cero:

1. Iguala el denominador a cero.
2. Resuelve la ecuación.
3. Excluye esos valores.

Regla de oro: escribe siempre el dominio antes de operar. Es el «contrato» de la fracción.

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3. Valor numérico

Se sustituye la variable por un número concreto que pertenezca al dominio.

Ejemplo: en $\dfrac{x+3}{x-2}$, si $x=1$:

$$\dfrac{1+3}{1-2}=\dfrac{4}{-1}=-4$$

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4. Simplificar fracciones algebraicas

Simplificar es escribir la fracción con expresiones más pequeñas sin cambiar su valor.

Procedimiento

1. Determina el dominio.
2. Factoriza numerador y denominador.
3. Cancela los factores comunes.
4. Mantén excluidos todos los valores iniciales del dominio.

Ejemplo resuelto

$$\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}$$

1. Dominio: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\neq 0 \Rightarrow x\neq -2$ y .

$$\dfrac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+3)}}=\dfrac{x-3}{x+2}, \qquad x\neq -2,\; x\neq -3$$

¡Atención! Solo se cancelan factores (cosas que se multiplican), nunca sumas. No se puede tachar la $x$ en $\dfrac{x+3}{x-2}$.

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5. Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación

$$\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot C}{B\cdot D}, \qquad B\neq 0,\; D\neq 0$$

Se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; después se simplifica.

División

$$\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{D}{C}=\dfrac{A\cdot D}{B\cdot C}, \qquad C\neq 0$$

Dividir es multiplicar por el recíproco (invertir la segunda fracción).

Suma y resta

$$\dfrac{A}{B}\pm\dfrac{C}{D}=\dfrac{A\cdot D \;\pm\; C\cdot B}{B\cdot D}$$

Pasos:

1. Factoriza los denominadores.
2. Halla el mínimo común denominador (m.c.d.).
3. Amplía cada fracción multiplicando arriba y abajo por lo que le falta.
4. Opera solo los numeradores.
5. Simplifica el resultado.

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6. Ejemplo completo paso a paso

Calcular y simplificar: $\dfrac{2x}{x^2-9}+\dfrac{3}{x+3}$

1. Dominio: $x^2-9=(x-3)(x+3)\neq 0 \Rightarrow x\neq 3$ y .

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7. Errores frecuentes y cómo evitarlos

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En resumen

• Una fracción algebraica es $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ con $Q(x)\neq 0$.