Rotación de figuras

Idea central

Rotar una figura es girarla alrededor de un punto fijo, un cierto ángulo y en un sentido determinado.

• La figura no cambia de forma ni de tamaño.
• Solo cambian su posición y su inclinación.
• Ejemplo cotidiano: una hoja clavada con un alfiler que se gira con el dedo. El alfiler no se mueve y cada punto de la hoja se mantiene a la misma distancia de él. Las manecillas de un reloj y una rueda de la fortuna funcionan igual.

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Los tres datos de una rotación

Sin cualquiera de ellos, la rotación no está bien definida:

1. Centro de rotación ($O$): el punto fijo alrededor del cual se gira.
2. Ángulo de rotación: cuánto se gira, en grados (por ejemplo, $90^\circ$, $180^\circ$ o $270^\circ$).
3. Sentido de giro:
   • Antihorario (contrario al reloj): sentido positivo, $+90^\circ$.
   • Horario (como el reloj): sentido negativo, $-90^\circ$.

Vocabulario:

• Figura original: la figura antes de girar.
• Imagen: la figura después de girar. El punto $A$ se convierte en $A'$ («A prima»).

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Qué se conserva y qué cambia

• La rotación es un movimiento rígido (isometría): la figura se mueve sin deformarse.
• Propiedad clave: $OA = OA'$. Cada punto y su imagen están a la misma distancia del centro.
• El ángulo $\angle AOA'$ es exactamente el ángulo de rotación.
• Rotación frente a reflexión: si reflejas una mano derecha, obtienes una mano izquierda. Si la , sigue siendo una mano derecha, solo que girada.

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Equivalencias entre giros

Una vuelta completa mide $360^\circ$, así que:

• $90^\circ$ horario $=$ $270^\circ$ antihorario.
• $180^\circ$ horario antihorario (media vuelta: el sentido no importa).

Regla general: un giro de $\theta$ en un sentido equivale a un giro de $360^\circ - \theta$ en el sentido contrario.

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Rotaciones con centro en el origen $O(0,0)$

• Truco para $90^\circ$ antihorario: intercambia las coordenadas y cambia el signo de la primera. Por ejemplo, $(3, 1) \to (-1, 3)$. El punto pasa del primer cuadrante al segundo, es decir, gira hacia la izquierda.
• Fórmula general (ángulo $\theta$ antihorario):

$$(x, y) \longrightarrow (x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta)$$

Con $\theta = 90^\circ$ ($\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$) se obtiene .

Ejemplo: triángulo girado $90^\circ$ antihorario

Vértices $A(1,2)$, $B(4,2)$ y $C(1,5)$. Regla: $(x,y)\to (-y,$.

• $A(1,2) \to A'(-2,1)$
• $B(4,2) \to B'(-2,4)$

Comprobaciones:

• El lado $AB$ es horizontal y mide $3$. El lado $A'B'$ es vertical y también mide $3$: la longitud se conserva.

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Rotación alrededor de un centro que no es el origen

Las reglas de la tabla solo sirven con centro en el origen. Para otro centro, traslada el centro al origen, gira y regresa:

1. Trasladar: resta las coordenadas del centro al punto.
2. Girar: aplica la regla de la tabla.
3. Regresar: suma las coordenadas del centro.
4. Verificar: comprueba que la distancia al centro no cambió.

Ejemplo: $P(5,3)$ girado $90^\circ$ horario con centro $C(2,1)$

1. Trasladar: $(5-2,\ 3-1) = (3,\ 2)$.
2. Girar con $(x,y) \to (y,-x)$: .

Respuesta: $P'(4,-2)$.

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Consejos para ejercicios con figuras (tipo examen)

• Sigue un detalle distintivo (un punto, una flecha o una zona sombreada) y observa solo ese detalle al girar.
• Giro de $90^\circ$ horario: arriba pasa a la derecha, la derecha pasa abajo, abajo pasa a la izquierda y la izquierda pasa arriba.
• Giro de $180^\circ$: intercambia arriba con abajo y, a la vez, izquierda con derecha.
• Descarta las opciones que parecen un espejo: una rotación nunca invierte la figura.
• En secuencias: identifica cuántos grados gira cada paso (por ejemplo, $45^\circ$) y continúa el patrón. Tras sumar , la figura vuelve a su posición inicial.

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Conceptos clave para recordar

• La rotación queda definida por centro, ángulo y sentido (antihorario $= +$, horario $= -$).
• Es un movimiento rígido: conserva longitudes, ángulos, forma, tamaño y orientación.
• Siempre se cumple $OA = OA'$, y es el ángulo de giro.