Identidades Pitagóricas

1. Idea Central

• Las identidades pitagóricas son 3 igualdades que se cumplen para cualquier ángulo permitido.
• Nacen del teorema de Pitágoras aplicado en el círculo unitario (centro en $(0,0)$ y radio $1$).
• Una identidad trigonométrica es una igualdad con senos, cosenos, etc., verdadera para todos los valores permitidos.

2. Analogía Clave: La Escalera

• Imagina una escalera de 1 metro apoyada en la pared.
• Base y altura cambian, pero siempre cumplen: $(base)^2 + (altura)^2 = 1^2$.

3. Origen: La Identidad Madre

• Todo punto $(x,y)$ del círculo unitario cumple: $x^2 + y^2 = 1$.
• Por definición para un ángulo $$:

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

• Importante: $\sin^2 \theta$ significa $(\sin \theta)^2$. No es el ángulo al cuadrado.

4. Las 3 Identidades Pitagóricas

N.º 1: Fundamental

• Fórmula: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• Condición: Vale para todo $\theta$.

N.º 2: Con Tangente y Secante

• Fórmula: $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• Condición: $\cos \theta \neq 0$.

N.º 3: Con Cotangente y Cosecante

• Fórmula: $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
• Condición: $\sin \theta \neq 0$.

5. Definiciones Necesarias

• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ : pendiente o inclinación.
• $\sec \theta =\frac{1}{\cos }$ : inverso del coseno.

6. ¿Cómo se Obtienen la 2 y la 3?

• No memorizar a ciegas, salen dividiendo la fundamental.
• Para la 2: Divide $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ entre $\cos^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ $$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$

• Para la 3: Divide la misma entre $\sin^2 \theta$:

$$\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

7. Uso Típico y Ejemplo

• Sirven para hallar una función si conoces otra y para simplificar expresiones.
• Ejemplo: Si $\sin \theta = \frac{3}{5}$ en el primer cuadrante:
  1. Usa $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.

8. Conceptos Clave para el Examen

• Base de todo: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ es Pitágoras en radio 1.
• Las otras dos son variantes con división.
• Al despejar con raíz, elige el signo según el cuadrante.
• Recuerda: ${\sin }^2\theta =(\sin \theta {}^{}$.