Resumen de Estudio 3: Divisibilidad
Divisibilidad
Conceptos clave
- Divisibilidad: Un número entero a es divisible por otro entero b (b ≠ 0) si existe un entero k tal que a = b · k. Se denota b | a.
- Múltiplos y divisores: Si b | a, entonces a es múltiplo de b y b es divisor de a.
- Propiedades fundamentales:
- Si a | b y b | c, entonces a | c (transitividad).
- Si a | b y a | c, entonces a | (b ± c).
- Si a | b, entonces a | (b · c) para cualquier entero c.
- Si a | b y b | a, entonces |a| = |b|.
Criterios de divisibilidad
| Número | Criterio |
|---|
| 2 | La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8). |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3. |
| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4. |
| 5 | La última cifra es 0 o 5. |
| 6 | Es divisible por 2 y por 3 a la vez. |
| 7 | Multiplicar la última cifra por 2 y restar al número sin ella; repetir hasta obtener un múltiplo de 7. |
| 8 | Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8. |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
| 10 | La última cifra es 0. |
| 11 | La diferencia entre la suma de cifras en posición par y las de posición impar es múltiplo de 11 (incluye 0). |
Teorema de la división euclidiana
Dados enteros a y b (b > 0), existen únicos enteros q (cociente) y r (residuo) tales que:
a = b · q + r, con 0 ≤ r < b.
- Si r = 0, entonces b | a.
Números primos y compuestos
- Primo: número entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores positivos: 1 y sí mismo.
- Compuesto: entero mayor que 1 que no es primo (tiene más de dos divisores).
- Teorema fundamental de la aritmética: Todo entero mayor que 1 se puede descomponer de manera única como producto de primos (descomposición en factores primos).
Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm)
- MCD: mayor divisor común a dos o más números. Se calcula tomando los factores primos comunes con su menor exponente.
- mcm: menor múltiplo común positivo. Se calcula tomando los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
- Relación: a · b = MCD(a, b) · mcm(a, b).
Ejemplos prácticos
- Verificar divisibilidad: ¿Es 132 divisible por 3? Suma de cifras: 1+3+2=6, que es múltiplo de 3, por lo tanto sí.
- Aplicar el algoritmo de Euclides para calcular MCD(48, 18):
48 = 18·2 + 12
18 = 12·1 + 6
12 = 6·2 + 0 → MCD = 6.
Errores comunes
- Confundir divisibilidad con división: a divisible por b implica que la división es exacta (residuo 0).
- Olvidar que el 0 es múltiplo de cualquier número (0 = b·0), pero ningún número es divisible por 0.
- Aplicar el criterio del 7 de forma incorrecta; es mejor usar el algoritmo de división directa.
Consejos para el examen
- Memoriza los criterios del 2, 3, 5 y 9, son los más frecuentes.
- Practica la descomposición en factores primos con números grandes.
- Usa el algoritmo de Euclides para MCD cuando los números sean grandes, es más eficiente que factorizar.
- Recuerda que si un número es divisible por 6, también lo es por 2 y 3, pero no al revés.
Preguntas de repaso
- ¿Cuál es el residuo de dividir 245 entre 7? (R: 0, porque 7·35=245)
- Determina si 1,236 es divisible por 4. (R: Sí, porque 36 es múltiplo de 4)
- Calcula el MCD(84, 120) y el mcm(84, 120). (R: MCD=12, mcm=840)
- Encuentra un número de tres cifras divisible por 2, 3 y 5 a la vez. (R: 120, 150, 180, etc.)
Este resumen cubre los aspectos esenciales de la divisibilidad para tu preparación. ¡Éxito en tu examen!
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