Criterios de Divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que permiten determinar si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división completa. Los más comunes son:

• Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
• Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
• Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 o si las dos últimas cifras son 00.
• Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.
• Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 a la vez.
• Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si al multiplicar la última cifra por 2 y restarla del número que queda sin esa cifra, el resultado es múltiplo de 7 (o 0). Se puede repetir el proceso.
• Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son 000.
• Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
• Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.
• Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en posición impar y la suma de las cifras en posición par es múltiplo de 11 (incluyendo 0).

Ejemplo:

¿Es 6.534 divisible por 11?

• Suma de posiciones impares (1ª, 3ª): 6 + 3 = 9.
• Suma de posiciones pares (2ª, 4ª): 5 + 4 = 9.
• Diferencia: 9 - 9 = 0, que es múltiplo de 11. Sí es divisible.

Números Primos y Compuestos

• Número primo: Es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo.
• Número compuesto: Es un número natural mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos.
• El 1 no es primo ni compuesto.
• Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

Descomposición en Factores Primos

Todo número compuesto se puede expresar como producto de números primos, de forma única (salvo el orden). Este proceso se denomina factorización prima.

Métodos de factorización:

1. Método de divisiones sucesivas: Dividir el número entre los primos empezando por el menor que lo divida, y continuar con el cociente hasta obtener 1.
2. Método del árbol: Ir descomponiendo el número en factores, y cada factor en otros, hasta que todos sean primos.

Ejemplo: Factorización de 72

• 72 ÷ 2 = 36
• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Por lo tanto, 72 = 2³ × 3².

El Teorema Fundamental de la Aritmética

Establece que todo número natural mayor que 1 es primo o se puede descomponer en factores primos de manera única, sin importar el orden de los factores. Esta propiedad es la base de muchas técnicas en matemáticas, como el cálculo del MCD y el mcm.

Conceptos Clave Relacionados

• Divisor: Un número d es divisor de n si n = d × k para algún entero k.
• Múltiplo: Un número m es múltiplo de n si m = n × k para algún entero k.
• Máximo Común Divisor (MCD): El mayor divisor que comparten dos o más números.
• Mínimo Común Múltiplo (mcm): El menor múltiplo común positivo de dos o más números.

Estos conceptos se abordan en profundidad en el próximo resumen, pero es esencial dominar la factorización prima para calcularlos.