1. Definición de Divisibilidad

Un número entero a es divisible entre un número entero b (distinto de cero) si existe un número entero c tal que:

[ a = b \times c ]

En este caso, se dice que:

• b divide a a (se escribe ( b \mid a )).
• b es un divisor de a.
• a es un múltiplo de b.

Si no existe tal entero c, entonces b no divide a a (se escribe ( b \nmid a )).

Ejemplo:

• ( 12 \div 3 = 4 ), por lo tanto ( 3 \mid 12 ) y ( 12 ) es múltiplo de ( 3 ).
• ( 12 \div 5 ) no es entero, por lo tanto ( 5 \nmid 12 ).

2. Propiedades Básicas de la Divisibilidad

• Reflexividad: Todo número entero es divisible por sí mismo: ( a \mid a ).
• Transitividad: Si ( a \mid b ) y ( b \mid c ), entonces ( a \mid c ).
• Multiplicación por un escalar: Si ( a \mid b ), entonces ( a \mid (k \cdot b) ) para cualquier entero ( k ).
• Combinación lineal: Si ( a \mid b ) y ( a \mid c ), entonces ( a \mid (b + c) ) y ( a \mid (b - c) ).
• Divisor de la unidad: Los únicos divisores de 1 son 1 y -1.
• Cero: Cualquier número entero distinto de cero divide a 0, porque ( 0 = b \times 0 ). Sin embargo, 0 no divide a ningún número.

3. Divisores y Múltiplos

• Divisores de un número: Son todos los enteros que lo dividen exactamente. Por ejemplo, los divisores positivos de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Múltiplos de un número: Son los resultados de multiplicar ese número por cualquier entero. Por ejemplo, los primeros múltiplos positivos de 7 son: 7, 14, 21, 28, 35, ...
• Número finito de divisores: Todo número entero tiene un número finito de divisores.
• Número infinito de múltiplos: Todo número entero distinto de cero tiene infinitos múltiplos.

4. Divisibilidad por 1 y por el propio número

• Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo.
• Estos dos divisores se llaman divisores triviales.
• Si un número tiene únicamente divisores triviales (1 y sí mismo), se dice que es un número primo (esto se profundiza en el tema de números primos).

5. Criterios de divisibilidad más comunes

6. Algoritmo de la división entera

Dados dos enteros ( a ) (dividendo) y ( b ) (divisor, ( b \neq 0 ), siempre existen enteros únicos ( q ) (cociente) y ( r ) (residuo) tales que:

[ a = b \cdot q + r, \quad \text{con } 0 \le r < |b| ]

• Si ( r = 0 ), entonces ( b \mid a ).
• Si ( r \neq 0 ), entonces ( b \nmid a ).

Este algoritmo es la base de la división euclidiana.

8. Conclusión

La divisibilidad es un concepto esencial en la teoría de números, pues permite identificar relaciones entre números enteros, clasificar números (pares, impares, primos, compuestos) y resolver problemas de factorización y de máximo común divisor. Dominar los criterios de divisibilidad y las propiedades básicas es clave para el éxito en exámenes preuniversitarios.