1. Definición de divisibilidad

Un número entero a es divisible entre un número entero b (con b ≠ 0) si existe un número entero c tal que a = b · c. En ese caso se dice que b divide a a, y se escribe b | a.

• Si b | a, entonces a es múltiplo de b y b es divisor de a.
• Si no existe tal c, se escribe b ∤ a.

2. Propiedades fundamentales

• Si a | b y b | c, entonces a | c (transitividad).
• Si a | b y a | c, entonces a | (b + c) y a | (b - c).
• Si a | b, entonces a | (b · k) para cualquier entero k.
• Si a | b y b | a, entonces a = b o a = -b.
• El 1 divide a todo número entero, y todo número entero (distinto de cero) se divide a sí mismo.

3. Criterios de divisibilidad más usados

Nota: Si un número es divisible entre 2 y 3, también lo es entre 6. Pero no siempre se cumple el recíproco para otros productos (por ejemplo, divisible entre 2 y 4 no implica divisible entre 8).

4. Números primos y compuestos

• Primo: entero positivo mayor que 1 que solo tiene como divisores positivos a 1 y a sí mismo.
• Compuesto: entero positivo mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos.
• El 1 no es primo ni compuesto.

Teorema fundamental de la aritmética: Todo entero positivo mayor que 1 se puede expresar de forma única (salvo el orden) como producto de números primos.

5. Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM)

• MCD(a, b): Mayor entero positivo que divide a la vez a a y a b.
• MCM(a, b): Menor entero positivo que es múltiplo común de a y b.

Relación: [ {\rm MCD}(a,b) \times {\rm MCM}(a,b) = a \times b ] (válida para números positivos).

6. Algoritmo de Euclides para calcular el MCD

1. Se divide el mayor entre el menor.
2. Se divide el divisor anterior entre el resto obtenido.
3. Se repite hasta obtener resto 0.
4. El último divisor no nulo es el MCD.

Ejemplo: Calcular MCD(48, 18)

• 48 ÷ 18 → cociente 2, resto 12
• 18 ÷ 12 → cociente 1, resto 6
• 12 ÷ 6 → cociente 2, resto 0 → MCD = 6

7. Números coprimos (primos entre sí)

• Dos números son coprimos si su MCD es 1.
• Ejemplo: 14 y 15 son coprimos, aunque ninguno sea primo.

8. Aplicaciones prácticas

• Simplificación de fracciones: Dividir numerador y denominador por su MCD.
• Suma de fracciones: Usar el MCM como denominador común.
• Problemas de reparto: Encontrar la mayor cantidad igual posible usando MCD.
• Eventos periódicos: Calcular cuándo coinciden usando MCM.

9. Errores comunes a evitar

• Confundir "divisible entre" con "divisor de".
• Aplicar criterios de divisibilidad a números negativos sin considerar el valor absoluto.
• Olvidar que 0 es divisible por cualquier número distinto de cero, pero no divide a ningún número.
• Usar la propiedad MCD × MCM = a × b solo para números positivos.

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Consejo: Para dominar divisibilidad, practica con números de 3 a 5 cifras, aplicando los criterios y verificando con la descomposición en factores primos.