Divisibilidad: Criterios y Propiedades Esenciales
Definición de Divisibilidad
Un número entero a es divisible entre otro número entero b (distinto de cero) si existe un número entero c tal que:
a = b × c
En este caso, decimos que b divide a a, y se denota como b | a.
- Ejemplo: 12 es divisible entre 3 porque 12 = 3 × 4.
- Nota: Si b no divide a a, se escribe b ∤ a.
Criterios de Divisibilidad (Reglas Prácticas)
| Número | Criterio | Ejemplo |
|---|
| 2 | La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8) | 128 → 8 es par → divisible |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3 | 123 → 1+2+3=6 → divisible |
| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 | 316 → 16 es múltiplo de 4 → divisible |
| 5 | La última cifra es 0 o 5 | 235 → termina en 5 → divisible |
| 6 | Es divisible entre 2 y 3 a la vez | 72 → par y suma 9 → divisible |
| 7 | Duplicar la última cifra y restar al resto; repetir hasta obtener un múltiplo de 7 | 343 → 34 - 2×3=28 → 28 es múltiplo de 7 → divisible |
| 8 | Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 | 1,024 → 024 = 24 → divisible |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9 | 729 → 7+2+9=18 → divisible |
| 10 | La última cifra es 0 | 450 → termina en 0 → divisible |
| 11 | Diferencia entre la suma de cifras en posición impar y par es 0 o múltiplo de 11 | 121 → (1+1) - 2 = 0 → divisible |
Propiedades Fundamentales de la Divisibilidad
- Reflexiva: Todo número entero es divisible por sí mismo: a | a.
- Transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c.
- Combinación lineal: Si a | b y a | c, entonces a | (b + c) y a | (b - c).
- Multiplicación: Si a | b, entonces a | (b × k) para cualquier entero k.
- Divisores del producto: Si a | b y c | d, entonces a × c | b × d.
- Cero y divisibilidad: Todo número entero distinto de cero divide a 0, pero 0 no divide a ningún número.
Divisores y Múltiplos
- Divisor: Número que divide exactamente a otro. Ejemplo: Divisores de 12 son {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
- Múltiplo: Resultado de multiplicar un número por un entero. Ejemplo: Múltiplos de 5 son {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}.
- Máximo Común Divisor (MCD): Mayor divisor común a dos o más números.
- Mínimo Común Múltiplo (MCM): Menor múltiplo común positivo a dos o más números.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo número entero mayor que 1 puede representarse de manera única como producto de números primos (descomposición en factores primos).
Ejemplo: 84 = 2² × 3 × 7
Esta descomposición es clave para calcular MCD y MCM.
Aplicaciones Rápidas
- Determinar si un número es primo: Verificar que no sea divisible por ningún primo menor o igual a su raíz cuadrada.
- Simplificar fracciones: Dividir numerador y denominador por su MCD.
- Resolver problemas de reparto: Usar MCM para encontrar coincidencias de ciclos.
Errores Comunes a Evitar
- Confundir "divisible entre" con "divisor de".
- Aplicar el criterio del 3 solo a la última cifra (es incorrecto).
- Olvidar que 0 es múltiplo de todo número, pero no es divisor de ninguno.
- No considerar números negativos en la definición (la divisibilidad aplica a enteros).
Ejercicio de Refuerzo
Pregunta: ¿Cuál de los siguientes números es divisible entre 11?
A) 1,034
B) 2,145
C) 3,256
D) 4,367
Solución: Aplicar criterio del 11:
- A) (1+3) - (0+4) = 4 - 4 = 0 → divisible.
- B) (2+4) - (1+5) = 6 - 6 = 0 → divisible.
- C) (3+5) - (2+6) = 8 - 8 = 0 → divisible.
- D) (4+6) - (3+7) = 10 - 10 = 0 → divisible.
Respuesta: Todos son divisibles entre 11. (Nota: verificar cada caso con la regla).
Recuerda: La práctica constante con los criterios y propiedades te permitirá resolver problemas de divisibilidad con rapidez y precisión.
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