1. Definición de Divisibilidad

Un número entero a es divisible entre otro número entero b (distinto de cero) si existe un número entero c tal que:

a = b × c

En tal caso, se dice que b divide a a, y se escribe b | a. También se dice que a es múltiplo de b y que b es divisor de a.

• Ejemplo: 12 es divisible entre 4 porque 12 = 4 × 3. Se escribe 4 | 12.
• Caso contrario: 7 no es divisible entre 2 porque no existe un entero c tal que 7 = 2 × c.

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2. Propiedades fundamentales

• Reflexiva: Todo número entero a (≠ 0) es divisible entre sí mismo: a | a.
• Transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c.
• Linealidad: Si a | b y a | c, entonces a | (b + c) y a | (b - c). También a | (m·b + n·c) para cualesquiera enteros m y n.
• Cero: Cualquier número entero distinto de cero divide a 0 (pues 0 = b × 0). Sin embargo, 0 no divide a ningún número.
• Divisores del 1: Solo 1 y -1 dividen a 1.
• Divisores de un número: Si a | b, entonces |a| ≤ |b| (excepto cuando b = 0).

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3. Divisores y múltiplos

• Divisor: Número que divide exactamente a otro. El 1 y el propio número son siempre divisores (divisores triviales).
• Múltiplo: Resultado de multiplicar un número por cualquier entero. Por ejemplo, múltiplos de 5: ..., -10, -5, 0, 5, 10, ...
• Conjunto de divisores: Son finitos; el conjunto de múltiplos es infinito.
• Divisibilidad y negativos: Si b | a, entonces también (-b) | a. Los divisores suelen considerarse positivos para simplificar.

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4. Criterios de divisibilidad (reglas prácticas)

Estos criterios permiten saber si un número es divisible entre ciertos números sin realizar la división completa:

• Divisibilidad entre 2: La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
• Divisibilidad entre 3: La suma de sus cifras es múltiplo de 3.
• Divisibilidad entre 4: Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
• Divisibilidad entre 5: La última cifra es 0 o 5.
• Divisibilidad entre 6: Es divisible entre 2 y entre 3 a la vez.
• Divisibilidad entre 8: Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8.
• Divisibilidad entre 9: La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
• Divisibilidad entre 10: La última cifra es 0.
• Divisibilidad entre 11: La diferencia entre la suma de cifras en posición impar y la suma de cifras en posición par es 0 o múltiplo de 11.

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5. Algunos ejemplos resueltos

• ¿Es 4 725 divisible entre 3? Suma de cifras: 4+7+2+5 = 18 (múltiplo de 3) → Sí.
• ¿Es 4 725 divisible entre 5? Última cifra 5 → Sí.
• ¿Es 4 725 divisible entre 11? (5+7) - (2+4) = 12 - 6 = 6 (no es múltiplo de 11) → No.
• ¿Es 1 848 divisible entre 8? Últimas tres cifras: 848; 848 ÷ 8 = 106 → Sí.

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6. Importancia en aritmética

La divisibilidad es la base para conceptos posteriores como:

• Números primos y compuestos.
• Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM).
• Factorización y descomposición en factores primos.
• Resolución de problemas de repartos y agrupaciones.