Mapa mental: Cantidad de divisores de un número

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Mapa mental: Cantidad de divisores de un número · Formatom

Cantidad de divisores de un número

Contenido del mapa

Cantidad de divisores — Cuántos números dividen exacto a N usando sus primos y exponentes.
- Conceptos base — Palabras clave para entender el conteo.
  - Divisor — Número que divide a otro sin residuo. Ej: 6 es divisor de 18.
  - Primo — Solo divisible entre 1 y sí mismo. Ladrillos: 2, 3, 5, 7, 11...
  - Exponente — Veces que se repite un primo. En 2^3, el exponente es 3.
- Descomposición canónica — Receta única del número con primos.
  - Forma general — N = p1^a1 x p2^a2 x ... x pk^ak con p primos.
  - Ejemplo: 72 — 72 = 8 x 9 = 2^3 x 3^2. Exponentes 3 y 2.
- Fórmula D(N) — Suma 1 a cada exponente y multiplica.
  - Un solo primo — Si N = p^a, D = a+1 por opciones de 0 hasta a.
  - Varios primos — D(N) = (a1+1) x (a2+1) x ... x (ak+1). Se multiplican.
  - ¿Por qué +1? — Porque puedes usar cada primo 0 veces. El 0 también cuenta.
- Cómo aplicarla — Del número al total de divisores.
  - Pasos clave — 1. Descompón en primos. 2. Toma exponentes. 3. Multiplica (a+1).
  - Resultado para 72 — D(72) = (3+1) x (2+1) = 4 x 3 = 12 divisores.
  - Verificación — Son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Incluye 1 y 72.

Contar divisores no es listarlos uno por uno, sino descubrir cómo se arma el número con primos. Todo número tiene una receta única llamada descomposición canónica, donde cada primo aparece con su exponente. Si conoces esos exponentes, ya tienes todo para contar.

La idea clave es que cada divisor se forma eligiendo cuántas veces usas cada primo. Para un primo con exponente a, puedes usarlo de 0 veces hasta a veces, lo que da a + 1 opciones. El exponente 0 significa no usarlo, y eso también crea divisores distintos, por eso el +1 nunca se olvida.

Cuando hay varios primos, las elecciones son independientes y se multiplican, como armar outfits con polos y pantalones. Por eso la fórmula general es D(N) = (a1 + 1) x (a2 + 1) x ... x (ak + 1). Esta cuenta ya incluye al 1 y al propio N.

Por ejemplo, 72 = 2^3 x 3^2 tiene exponentes 3 y 2, entonces D(72) = (3+1) x (2+1) = 4 x 3 = 12. Sus 12 divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.