Una progresión es una lista ordenada de números que sigue una regla fija. Cada lista se llama sucesión y cada número de la lista se llama término, que se escribe como a1, a2, a3 y en general a_n, donde n indica la posición. Si conoces el primer término y la regla, puedes predecir toda la lista sin escribirla completa, como subir una escalera a oscuras cuando ya sabes el tamaño de cada paso.

La progresión aritmética avanza sumando siempre el mismo número, llamado diferencia común d, que puede ser positivo, negativo o cero. Su forma es a1, a1 + d, a1 + 2d y sigue así, por ejemplo 2, 5, 8, 11, 14 con a1 = 2 y d = 3. Para hallar cualquier término se usa a_n = a1 + (n-1) x d, porque partes de a1 y das n-1 saltos de tamaño d. Por ejemplo, a20 = 2 + 19 x 3 = 59.

La progresión geométrica avanza multiplicando siempre por el mismo número, llamado razón común r. Su forma es a1, a1 x r, a1 x r al cuadrado y sigue así, por ejemplo 3, 6, 12, 24, 48 con a1 = 3 y r = 2. Para hallar cualquier término se usa a_n = a1 x r^(n-1), porque multiplicas n-1 veces por r. Por ejemplo, a8 = 3 x 2^7 = 384. Mientras la aritmética crece poco a poco como una escalera pareja, la geométrica crece muy rápido como un efecto viral.

Para no sumar uno por uno existen fórmulas de suma. En aritmética se usa S_n = n x (a1 + a_n) / 2, que promedia el primero y el último y multiplica por n, por ejemplo S20 = 20 x (2+59) / 2 = 610. En geométrica con r distinto de 1 se usa S_n = a1 x (r^n - 1) / (r - 1), y si r está entre -1 y 1 la suma infinita vale S_infinito = a1 / (1 - r). El método siempre es el mismo: identifica a1, d o r y n, calcula a_n y luego aplica la suma que corresponda.