Contar figuras es hallar cuántas figuras del mismo tipo hay en un dibujo, sin olvidar ninguna. No solo se cuentan las piezas más pequeñas y simples, sino también todas las figuras compuestas que se forman al unir dos o más piezas pegadas. Es como una barra de chocolate dividida: vale un trozo solo, dos juntos, tres juntos y cada porción distinta cuenta.

Para no repetir ni olvidar figuras se usa el conteo sistemático por tamaño. Primero se cuentan las figuras de 1 pieza, luego las de 2 piezas vecinas, luego las de 3, y así hasta la figura total. Al final se suman todos los casos. El truco es avanzar siempre en el mismo sentido, de izquierda a derecha, y marcar lo ya contado.

La idea común detrás de todo conteo es elegir 2 bordes. Un segmento necesita 2 puntos, un ángulo necesita 2 rayos y un rectángulo necesita 2 líneas horizontales y 2 verticales. Por eso con n puntos o rayos se usa N = n(n-1)/2. Si un triángulo grande está dividido desde un vértice en m partes pequeñas, hay m+1 líneas y el total es N = m(m+1)/2. En una cuadrícula con m horizontales y n verticales se multiplican ambas elecciones.

Por ejemplo, un triángulo dividido en 4 triangulitos tiene 4 de 1 pieza, 3 de 2 piezas, 2 de 3 piezas y 1 de 4 piezas. La suma 4+3+2+1 da 10 triángulos, lo mismo que la fórmula 4x5/2 = 10. El método ordenado explica de dónde sale la fórmula y evita errores.