Mapa mental: Funciones Trigonométricas de Números Reales

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Mapa mental: Funciones Trigonométricas de Números Reales · Formatom

Funciones Trigonométricas de Números Reales

Contenido del mapa

Funciones de números reales — Cada número t es un recorrido en el círculo unitario que termina en P(t) = (cos(t), sin(t)).
- Recorrido t en la noria — La base: t es la distancia caminada sobre una rueda de radio 1 desde (1,0).
  - Inicio en (1,0) — Siempre empiezas a la derecha del centro y desde ahí mides la distancia t.
  - Sentido del recorrido — Si t es positivo vas contra el reloj; si es negativo, a favor del reloj.
  - Radián natural — Un radián es recorrer distancia 1 sobre el radio 1, sin convertir a grados.
- Círculo unitario y P(t) — El camino es el círculo x² + y² = 1 y el final del recorrido es el punto P(t).
  - Ecuación del círculo — Centro en (0,0) y radio 1. Todos sus puntos cumplen x² + y² = 1.
  - Punto final P(t) — Recorres distancia |t| desde (1,0) y llegas a P(t) = (x, y).
  - Más de una vuelta — Si t es grande, das vueltas completas; cada 2π vuelves al mismo punto.
- Seno y coseno — Las dos funciones principales: son las coordenadas del punto P(t).
  - Coseno es x — cos(t) es la coordenada horizontal, tu posición a izquierda o derecha.
  - Seno es y — sin(t) es la coordenada vertical, tu altura sobre el centro.
  - Identidad fundamental — Siempre cumplen cos²(t) + sin²(t) = 1 y sus valores están entre -1 y 1.
- Otras cuatro funciones — Se construyen dividiendo sin(t) y cos(t) entre sí o con 1.
  - Tangente y cotangente — tan(t) = sin(t)/cos(t) y cot(t) = cos(t)/sin(t). Su rango es todo R.
  - Secante y cosecante — sec(t) = 1/cos(t) y csc(t) = 1/sin(t). Sus valores están fuera de (-1,1).
  - No dividir entre 0 — tan y sec no existen si cos(t)=0; cot y csc no existen si sin(t)=0.
- Período y simetría — Las funciones se repiten y tienen espejos que facilitan el cálculo.
  - Período 2π y π — sin y cos se repiten cada 2π; tan y cot se repiten cada π.
  - Par e impar — cos es par: cos(-t)=cos(t). sin es impar: sin(-t)=-sin(t).
  - Ejemplo 7π/6 — Está en el tercer cuadrante: ambas coordenadas negativas, cos=-√3/2 y sin=-1/2.

Las funciones trigonométricas de números reales nacen de una idea simple: usa cualquier número real t como distancia recorrida sobre una noria de radio 1. Empiezas en (1,0) y caminas esa distancia sobre la circunferencia unitaria; si t es positivo vas en contra de las manecillas y si es negativo vas a favor. Así, sin triángulos ni grados, cada número te lleva a un punto final P(t).

Ese punto P(t) vive en el círculo unitario de ecuación x² + y² = 1 y tiene coordenadas (x, y) que dependen solo de t. El coseno de t es la coordenada x y el seno de t es la coordenada y, por eso se escribe P(t) = (cos(t), sin(t)). Como el radio es 1, siempre se cumple cos²(t) + sin²(t) = 1 y ambas funciones tienen dominio en todos los reales y rango entre -1 y 1.

Con seno y coseno se construyen las otras cuatro funciones por división: tangente, cotangente, secante y cosecante. No existen donde el denominador es cero, por eso tan y sec fallan arriba y abajo del círculo y cot y csc fallan a los lados. Finalmente, son funciones periódicas y simétricas: seno y coseno se repiten cada 2π, tangente y cotangente cada π, cos es par y sin es impar, lo que permite calcular valores exactos como en 7π/6 usando el ángulo de referencia π/6 y el signo del cuadrante.