El circuncentro es el punto que está a la misma distancia de los tres picos de un triángulo. Si pones ahí la punta de un compás y lo abres hasta un vértice, el círculo que traces pasa por los otros dos. Es como la antena perfecta para tres casas que forman un triángulo: el lugar donde a todos les llega igual la señal.

Se define como el punto O donde se cortan las tres mediatrices del triángulo. Una mediatriz es la recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio, y es importante porque reúne a todos los puntos que están a igual distancia de los dos extremos de ese lado. Por eso las tres mediatrices concurren: si O está en la mediatriz de AB cumple OA = OB, y si está en la de AC cumple OA = OC, entonces OA = OB = OC y también tiene que estar en la mediatriz de BC.

Su posición depende del tipo de triángulo. En un acutángulo, con todos los ángulos menores de 90°, queda dentro. En un rectángulo, con un ángulo de 90°, queda en el punto medio de la hipotenusa, que es el lado más largo frente al ángulo recto. En un obtusángulo, con un ángulo mayor de 90°, queda fuera.

Para dibujarlo basta con dos mediatrices: se marcan los puntos medios de dos lados, se trazan sus perpendiculares y se marca el cruce, que es O. La distancia de O a cualquier vértice se llama circunradio R y cumple OA = OB = OC = R. O es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices. Por ejemplo, en el triángulo A(0,0), B(6,0), C(0,8), las mediatrices x = 3 e y = 4 se cruzan en O(3,4) y R = 5. En general sin coordenadas se usa R = a b c / 4S, donde a, b, c son los lados y S es el área.