La circunferencia es el conjunto de todos los puntos P(x,y) que están a la misma distancia r de un punto fijo llamado centro C(h,k). Para imaginarla piensa en una estaca clavada en el patio y una cuerda de largo r: al caminar con la cuerda tensa dibujas el borde, donde la estaca es el centro, la cuerda es el radio y tu posición es el punto variable.

Esa idea geométrica se escribe con álgebra gracias al teorema de Pitágoras. La distancia entre P(x,y) y C(h,k) tiene catetos x-h y y-k, por lo que igualarla al radio da la forma ordinaria: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2. Esta forma muestra el centro y el radio a simple vista y se lee como diferencia en x al cuadrado más diferencia en y al cuadrado igual a radio al cuadrado.

Si desarrollas los cuadrados y ordenas todo igualado a cero obtienes la forma general: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, donde D = -2h, E = -2k y F = h^2 + k^2 - r^2. En una forma general auténtica, x^2 y y^2 llevan coeficiente 1 y no aparece término xy. Para volver atrás usas h = -D/2, k = -E/2 y r = raíz de h^2 + k^2 - F, con la condición h^2 + k^2 - F > 0. Por ejemplo, con centro (3,-2) y radio 5 obtienes (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 y su general x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0.