Mapa mental: Mapa Mental de la Función Cuadrática

Explorar

Mapa mental: Mapa Mental de la Función Cuadrática · Formatom

Mapa Mental de la Función Cuadrática

Contenido del mapa

Función Cuadrática — Curva en forma de U dada por y = ax²+bx+c con a distinto de 0.
- Forma general — Es y = ax²+bx+c con a distinto de 0.
  - Término cuadrático ax² — Es el jefe que crea la forma de U.
  - Término lineal bx — Mueve la curva hacia los lados.
  - Término independiente c — Indica dónde cruza el eje vertical y.
- Concavidad — Indica hacia dónde abre la U según el signo de a.
  - a > 0 abre arriba — Forma de sonrisa y el vértice es el punto más bajo o mínimo.
  - a < 0 abre abajo — Forma triste invertida y el vértice es el punto más alto o máximo.
- Vértice y eje — La punta de la U y su espejo vertical.
  - xv = -b/(2a) — Fórmula directa para la coordenada x del vértice.
  - yv = f(xv) — Se reemplaza xv en la función para hallar la altura del vértice.
  - Eje x = -b/(2a) — Línea vertical que divide la parábola en dos mitades iguales.
- Interceptos y ceros — Puntos donde la curva cruza los ejes.
  - Corte en y: (0,c) — Se obtiene con x = 0, siempre es gratis.
  - Ceros en x — Se hallan con y = 0 resolviendo ax²+bx+c = 0.
  - Discriminante D — Detector D = b²-4ac que anticipa cuántos cortes en x hay.
    - D > 0: dos cortes — La parábola cruza el eje x en dos puntos distintos.
    - D = 0: un toque — Toca el eje x en un solo punto, justo en el vértice.
    - D < 0: no toca — Flota por encima o por debajo sin cruzar el eje x.
- Dominio, rango y gráfica — Recorrido total y dibujo con pocos puntos.
  - Dominio total — Siempre son todos los reales, de menos infinito a más infinito.
  - Rango si abre arriba — Va desde yv hacia arriba, desde yv hasta más infinito.
  - Rango si abre abajo — Va desde abajo hasta yv, desde menos infinito hasta yv.

La función cuadrática es una máquina matemática que convierte cada número x en un nuevo número y con la receta y = ax² + bx + c, con la condición clave de que a sea distinto de 0. Su gráfica siempre es una curva en forma de U llamada parábola, como el camino de una pelota que sube, se frena un instante y luego baja.

Cada parte de la fórmula tiene un rol: el término cuadrático ax² es el jefe que crea la forma de U, el término lineal bx la mueve hacia los lados y el término independiente c dice dónde cruza el eje vertical y. El signo de a decide la concavidad: si a es mayor que 0 la U abre hacia arriba como una sonrisa y el vértice es un mínimo, si a es menor que 0 abre hacia abajo como carita triste y el vértice es un máximo.

Para dibujarla no se necesitan tablas eternas, solo cuatro datos clave. El vértice (xv, yv) es la punta de la U y se halla con xv = -b/(2a) y luego yv = f(xv); por ahí pasa el eje de simetría x = -b/(2a) que divide la parábola como un espejo. El intercepto con el eje y siempre es (0,c), y los ceros o raíces donde cruza el eje x se hallan resolviendo ax²+bx+c = 0 con ayuda del discriminante D = b²-4ac.

El discriminante anticipa el dibujo: si D es mayor que 0 hay dos cortes distintos, si es igual a 0 hay un solo toque en el vértice, y si es menor que 0 flota sin tocar. El dominio siempre son todos los reales, y el rango parte del vértice hacia arriba si abre arriba o hacia abajo si abre abajo. Por ejemplo, en f(x) = x²-4x+3 el vértice es (2,-1), el eje es x = 2, el corte en y es (0,3) y los ceros son (1,0) y (3,0), con rango desde -1 hacia arriba.