Mapa mental: Líneas notables del triángulo

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Mapa mental: Líneas notables del triángulo · Formatom

Líneas notables del triángulo

Contenido del mapa

Líneas notables del triángulo — Las 4 líneas que nacen de vértices o mitades de lados y revelan altura, equilibrio y división justa.
- Altura y ortocentro — Caída perpendicular desde el vértice al lado opuesto.
  - Definición de altura — Segmento desde un vértice al lado opuesto formando 90 grados. Se denota h_a, h_b, h_c.
  - Ortocentro H — Punto donde se cortan las 3 alturas del triángulo.
  - Dónde queda H — Dentro si es acutángulo, en el vértice recto si es rectángulo y fuera si es obtusángulo.
  - Uso en área — Sirve para calcular el área con la fórmula A = (b h) / 2.
- Mediana y baricentro — Cuerda al punto medio para equilibrar el triángulo.
  - Definición de mediana — Segmento desde un vértice al punto medio del lado opuesto. Se denota m_a, m_b, m_c.
  - Baricentro G — Punto donde se cortan las 3 medianas. Es el centro de equilibrio.
  - Razón 2:1 — G divide cada mediana en 2 a 1, con el trozo largo al lado del vértice. Ejemplo: AG = (2/3) AM.
- Mediatriz y circuncentro — Cruz perfecta en la mitad del lado.
  - Definición de mediatriz — Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio. No pasa por vértices.
  - Circuncentro O — Punto donde se cortan las 3 mediatrices. Está a igual distancia de los 3 vértices.
  - Dónde queda O — Dentro si es acutángulo, en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo y fuera si es obtusángulo.
- Bisectriz e incentro — Láser que parte el ángulo en dos iguales.
  - Definición de bisectriz — Rayo desde un vértice que divide el ángulo en dos ángulos iguales.
  - Incentro I — Punto donde se cortan las 3 bisectrices interiores del triángulo.
  - A igual distancia de lados — I está a la misma distancia de los 3 lados y es centro del círculo que los toca por dentro.
- Caso donde coinciden — En isósceles y equilátero una sola línea hace todo.
  - Ejemplo 5-5-6 — Con AB = AC = 5 y BC = 6, la línea AM al punto medio mide 4 y es altura, mediana, mediatriz y bisectriz a la vez.
  - Analogía de la carpa — Plomada es altura, cuerda al centro es mediana, cruz en el suelo es mediatriz y láser del ángulo es bisectriz.

Todo triángulo esconde 4 líneas especiales que nacen de sus vértices o del centro de sus lados. Te dicen qué tan alto es, dónde se equilibra y cómo dividirlo en partes justas.

Imagina una carpa triangular ABC. Si sueltas una plomada desde el pico A hasta el suelo BC, cae recta y es la altura. Si atas una cuerda desde A hasta la mitad exacta del suelo, la carpa se equilibra y es la mediana. Si marcas la mitad del suelo y trazas una línea que lo cruza formando una cruz perfecta, es la mediatriz. Si desde la esquina A divides el ángulo en dos iguales con un láser, es la bisectriz.

La altura sale del vértice a 90 grados y las 3 se juntan en el ortocentro H. La mediana va del vértice al punto medio y las 3 se juntan en el baricentro G, que divide cada mediana en razón 2:1. La mediatriz cruza el punto medio a 90 grados sin pasar por vértices y las 3 se juntan en el circuncentro O, a igual distancia de los vértices. La bisectriz interior parte el ángulo en dos iguales y las 3 se juntan en el incentro I, a igual distancia de los lados.

En un triángulo isósceles con AB = AC = 5 y BC = 6, la línea AM al punto medio M de BC cumple todo a la vez. Como BM = CM = 3, por Pitágoras h al cuadrado + 9 = 25, así h = 4. Esa es la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz desde A. Este caso especial solo pasa en isósceles o equilátero.