Mapa mental: Inecuaciones de Segundo Grado: ¿Arriba o Abajo de Cero?

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Inecuaciones de Segundo Grado: ¿Arriba o Abajo de Cero?

Contenido del mapa

Inecuaciones de segundo grado — Pregunta para qué x la parábola y = ax^2 + bx + c queda arriba o abajo de cero.
- Forma general — Toda inecuación se ordena como ax^2 + bx + c comparada con cero.
  - Coeficientes a, b, c — Son los números de la expresión cuadrática, con a distinto de cero.
  - Signos > < ≥ ≤ — Indican si buscas la parte positiva, negativa o incluyendo el cero.
  - Ordenar todo a cero — Deja un lado en cero para comparar la parábola con el piso.
- La parábola — Es la curva en forma de U que dibuja y = ax^2 + bx + c.
  - Si a > 0 abre arriba — Es una U normal: abajo en el centro y arriba en los extremos.
  - Si a < 0 abre abajo — Es una U invertida: arriba en el centro y abajo en los extremos.
  - Raíces son fronteras — Son los x donde y = 0, donde toca el piso y puede cambiar el signo.
- Discriminante D — Se calcula con D = b^2 - 4ac y anticipa cuántas raíces hay.
  - D > 0: dos raíces — La U cruza dos veces y crea tres zonas: izquierda, centro y derecha.
  - D = 0: raíz doble — La U solo toca el piso en un punto x0 sin cruzarlo.
  - D < 0: sin raíces — La U flota toda arriba o toda abajo; el signo es el de a.
- Método en 4 pasos — Ruta ordenada para pasar de la desigualdad a la solución.
  - Paso 1: Ordenar — Convierte a la forma ax^2 + bx + c > 0 o < 0 dejando un lado en cero.
  - Paso 2: Hallar raíces — Iguala a cero y resuelve con factorización o fórmula general.
  - Paso 3: Marcar en recta — Ordena las raíces de menor a mayor y mira hacia dónde abre la U.
  - Paso 4: Probar signos — Prueba un valor fácil por zona; toda la zona hereda ese signo.
- Conjunto solución — Es el grupo de todos los x que cumplen, escrito con intervalos.
  - Quédate con lo que cumple — Elige solo las zonas positivas si pedías > 0 o negativas si pedías < 0.
  - Paréntesis o corchetes — Usa paréntesis para > o < y corchetes para ≥ o ≤ que incluyen raíces.
  - Ejemplo modelo — x^2 - 5x + 6 > 0 tiene raíces 2 y 3 y solución (-∞, 2) ∪ (3, +∞).

Una inecuación de segundo grado pregunta para qué valores de x la parábola y = ax^2 + bx + c queda arriba o abajo de cero. Es como mirar un puente sobre un río: queremos saber en qué tramos vas por encima del agua y en cuáles por debajo. Piensa también en lanzar una pelota, su altura forma una U invertida y preguntar cuándo está por encima del suelo.

Una inecuación no busca un igual sino un mayor o menor, usa los signos >, <, ≥ o ≤ y su respuesta no es un número solo sino un grupo de números. Segundo grado significa que la x de mayor exponente está al cuadrado, y su forma ordenada siempre se puede escribir como ax^2 + bx + c > 0 o con otro signo. La parábola es la curva en U que dibuja la expresión, la raíz es donde toca el piso y = 0, el punto crítico es esa raíz usada como frontera, el discriminante D = b^2 - 4ac dice cuántas raíces hay, y el conjunto solución es el grupo final escrito con intervalos.

Para resolverlas se usa un método en 4 pasos. Paso 1: ordena todo a un lado dejando cero en un lado. Paso 2: encuentra las raíces igualando a cero y resolviendo con factorización o con la fórmula x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a. Paso 3: marca las raíces en la recta de menor a mayor y mira hacia dónde abre la U según el signo de a. Paso 4: prueba el signo en cada zona con un valor fácil, porque una parábola no puede cambiar de signo sin pasar por cero. Si D > 0 hay dos raíces y tres zonas, si D = 0 hay una raíz doble que solo toca, y si D < 0 no hay raíces y la U flota toda arriba o toda abajo según a.

Por ejemplo, x^2 - 5x + 6 > 0 ya está ordenada con a = 1, b = -5, c = 6. Al factorizar como (x - 2)(x - 3) = 0 se obtienen x1 = 2 y x2 = 3. Como a > 0 abre hacia arriba, está abajo en el centro y arriba en los extremos. Al probar da positivo en x < 2, negativo en 2 < x < 3 y positivo en x > 3, por eso la solución es (-∞, 2) ∪ (3, +∞). Casos especiales: x^2 - 4x + 4 > 0 da (-∞, 2) ∪ (2, +∞), x^2 + x + 1 > 0 da todos los reales, y x^2 + x + 1 < 0 da conjunto vacío. Se usan paréntesis si es > o < estricto y corchetes si es ≥ o ≤.