Mapa mental: Mapa Mental: Sistemas 3x3

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Mapa Mental: Sistemas 3x3

Contenido del mapa

Sistemas 3x3 — Buscan el trío (x, y, z) que cumple 3 ecuaciones a la vez.
- Definiciones clave — Vocabulario base para entender el sistema.
  - Variable — Letra que representa un número desconocido: x, y, z.
  - Coeficiente — Número que multiplica a la variable. En 2x es 2.
  - Término independiente — Número solo sin letra. En x+y+z=6 es 6.
  - Ecuación lineal — Forma ax+by+cz=d, sin potencias ni productos xy.
- Sistema 3x3 — Tres ecuaciones que deben cumplirse al mismo tiempo.
  - Forma general — Tres filas del tipo a1x+b1y+c1z=d1 hasta la tercera.
  - Solución — Trío ordenado (x0, y0, z0) que hace verdaderas las 3.
  - Analogía tickets — Como 3 tickets con pan, leche y queso: solo juntos revelan cada precio.
- Geometría: 3 planos — Cada ecuación es un plano infinito; resolver es hallar su cruce.
  - Compatible determinado — Planos se cortan en un solo punto. Tiene 1 solución.
  - Compatible indeterminado — Se cortan en una recta o son el mismo plano. Infinitas soluciones.
  - Incompatible — No tienen ningún punto en común. Tiene 0 soluciones.
- Método de eliminación — Elimina una letra dos veces para pasar de 3x3 a 2x2.
  - Paso 1: Elegir variable — Elige la más fácil, con coeficientes iguales u opuestos.
  - Paso 2: Crear Ec.4 — Combina Ec.1 con Ec.2 y elimina esa variable.
  - Paso 3: Crear Ec.5 — Combina Ec.2 con Ec.3 eliminando la misma variable.
  - Paso 4: Resolver 2x2 — Resuelve Ec.4 y Ec.5 para hallar dos variables.
  - Paso 5: Hallar tercera — Sustituye los 2 valores en una ecuación original.
  - Paso 6: Verificar — Reemplaza x, y, z en las 3 originales; todas deben cumplirse.
- Ejemplo y errores — Aplicación con números y fallos que debes evitar.
  - Ejemplo modelo — El sistema con 6, 3 y 2 da solución (1, 2, 3).
  - Misma variable — Error: cambiar de letra en cada paso. Usa siempre la misma.
  - Cuidar signos — Al restar ecuaciones cambia todos los signos de la que restas.
  - Verificar siempre — Reemplaza al final en las 3 ecuaciones originales.

Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables busca un trío de valores (x, y, z) que cumpla tres condiciones a la vez. Cada condición tiene la forma ax + by + cz = d, donde a, b y c son coeficientes y d es el término independiente. Lineal significa que no hay potencias ni multiplicaciones entre variables como x² o xy.

Geométricamente, cada ecuación representa un plano en el espacio, una superficie plana e infinita. Resolver el sistema es encontrar dónde se cruzan los tres planos. Si se cortan en un solo punto el sistema es compatible determinado con una solución, si se cortan en una recta o son el mismo plano es compatible indeterminado con infinitas soluciones, y si no tienen ningún punto en común es incompatible sin solución.

El método más usado es la eliminación: se elige la variable más fácil de cancelar y se combina la ecuación 1 con la 2 para crear una ecuación nueva de dos variables, luego se combina la 2 con la 3 eliminando la misma variable. Con esas dos nuevas ecuaciones se forma un sistema 2x2, se resuelve, se sustituye para hallar la tercera variable y se verifica en las tres originales.

El ejemplo modelo x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2 se resuelve eliminando z dos veces para obtener 2x + 3y = 8 y 3x + y = 5, de donde x = 1, y = 2 y z = 3. Los errores típicos son eliminar distintas variables en cada paso, olvidar cambiar los signos al restar y no verificar al final.