Los números complejos nacen para lograr lo imposible: hallar la raíz de un número negativo. En los reales, la ecuación x² = -1 no tiene solución porque todo real al cuadrado es positivo o cero, como 2² = 4 y (-2)² = 4. Para resolverlo se crea la unidad imaginaria i, definida por la regla i² = -1, es decir, i es la raíz de -1.

Todo número complejo tiene dos piezas y se escribe en forma binómica como z = a + b i, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, ambas números reales. Es importante recordar que la parte imaginaria es solo b, sin la i. Por eso 3 + 2i tiene a = 3 y b = 2, 5 - 4i tiene a = 5 y b = -4, y todo real es también complejo con b = 0.

Para visualizarlos usamos el plano complejo, como una ciudad con dos avenidas. El eje real horizontal mide a de este a oeste, y el eje imaginario vertical mide b de norte a sur. Cada número z = a + b i es el punto (a, b); por ejemplo, 2 + 3i está en a = 2 y b = 3.

Para operar, la suma y resta juntan reales con reales e imaginarios con imaginarios, como etiquetas en álgebra. La multiplicación aplica la distributiva y luego usa la regla de oro i² = -1, como en (2 + 3i)(1 - 2i) = 8 - i. Además, el conjugado a - b i es el reflejo frente al espejo horizontal, y el módulo (a² + b²)¹/² es la distancia al origen por Pitágoras. Gracias a ellos, toda ecuación cuadrática tiene solución.