Cuando multiplicas potencias que tienen exactamente la misma base, la base se queda igual y lo único que haces es sumar los exponentes. Esta es la idea central del tema: a^m por a^n es igual a a^(m+n). La regla también vale para más de dos factores, por ejemplo a^m por a^n por a^p es igual a a^(m+n+p).

Para entenderla recuerda qué es cada parte de una potencia. La potencia a^n es una forma corta de escribir una multiplicación repetida. La base a es lo que se repite y el exponente n dice cuántas veces se repite. Piensa en la base como el modelo de ladrillo y en el exponente como cuántos ladrillos tienes de ese modelo: si juntas una pila de m ladrillos con otra de n ladrillos del mismo modelo, terminas con una sola pila de m+n ladrillos sin cambiar de modelo.

Esto se ve claro si abres las potencias. Como a^3 es a por a por a y a^2 es a por a, al multiplicarlas solo juntas todo y obtienes a por a por a por a por a, que es a^5. Y 5 es 3+2, o sea que juntar repeticiones es lo mismo que sumar cuántas veces aparece la base, de ahí sale la regla general.

Por ejemplo, en 3^4 por 3^2 primero revisas que las bases sean iguales, luego dejas la misma base 3 y sumas los exponentes 4+2 para obtener 3^6, que vale 729. Recuerda que solo funciona si las bases son exactamente iguales, que la base no se suma ni se multiplica y que los exponentes no se multiplican, se suman: 2^3 por 2^4 es 2^7, no 4^7 ni 2^12.