Mapa mental: Aproximación por defecto y por exceso

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Mapa mental: Aproximación por defecto y por exceso · Formatom

Aproximación por defecto y por exceso

Contenido del mapa

Aproximación por defecto y por exceso — Encerrar un número real entre un valor corto por debajo y otro por encima.
- Qué es aproximar — Reemplazar el valor exacto por otro cercano más corto y práctico.
  - Reemplazo práctico — Se cambia un número largo por otro fácil de usar sin perder cercanía.
  - Motivo: infinitos decimales — Los irracionales tienen decimales infinitos no periódicos imposibles de escribir completos.
  - Analogía del estante — Para x = 1.73 m, 1.7 m queda corto y 1.8 m se pasa, pero lo atrapan: 1.7 <= 1.73 <= 1.8.
- Orden de aproximación — Indica hasta qué cifra recortas el número y cuál es la precisión.
  - Décima: n = 1 — Se conserva 1 decimal y la unidad es 10^-1 = 0.1.
  - Centésima: n = 2 — Se conservan 2 decimales y la unidad es 10^-2 = 0.01.
  - Milésima: n = 3 — Se conservan 3 decimales y la unidad es 10^-3 = 0.001.
- Por defecto — Valor recortado por debajo o igual al número real.
  - Relación: a_d <= x — Es el mayor número corto con n decimales que no supera a x.
  - Método: truncamiento — Corta los decimales sobrantes sin cambiar la última cifra conservada.
  - Ejemplo con pi — Para x = 3.14159... a la centésima, a_d = 3.14.
- Por exceso — Valor recortado por encima o igual al número real.
  - Relación: x <= a_e — Es el menor número corto con n decimales que supera a x.
  - Método: sumar 10^-n — Suma una unidad del orden a la aproximación por defecto.
  - Ejemplo con pi — Para x = 3.14159... a la centésima, a_e = 3.14 + 0.01 = 3.15.
- Encierro y verificación — Las dos aproximaciones atrapan al número real en el medio.
  - Desigualdad clave — Siempre se cumple que a_d <= x <= a_e.
  - Distancia fija — La separación entre ambos es a_e = a_d + 10^-n.
  - Ejemplo con raíz de 2 — A la centésima, 1.41 <= 1.414213... <= 1.42 confirma el recorte correcto.

Aproximar es reemplazar un número con muchos decimales por otro más corto y fácil de usar. Esto es necesario porque muchos números reales, sobre todo los irracionales como raíz de 2 igual a 1.414213... o pi igual a 3.14159..., tienen infinitos decimales no periódicos que no se pueden escribir completos.

Si el valor corto queda por debajo o igual al número real es una aproximación por defecto y se obtiene por truncamiento, es decir, cortando los decimales sobrantes sin cambiar la última cifra conservada. Si queda por encima o igual es una aproximación por exceso y se obtiene sumando una unidad del orden a la aproximación por defecto: 0.1 en la décima, 0.01 en la centésima y 0.001 en la milésima.

Ambos valores encierran al número real entre dos valores cercanos: a_d <= x <= a_e, con a_e = a_d + 10^-n. Por ejemplo, para 3.14159... a la centésima se obtiene 3.14 <= 3.14159... <= 3.15, y para 1.414213... se verifica 1.41 <= 1.414213... <= 1.42.